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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知双曲线 E:x2a2−y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的两条渐近线分别为 l1:y=2xl_1: y = 2x，l2:y=−2xl_2: y = -2x.
(1) 求双曲线 EE 的离心率； (2) 如图，OO 为坐标原点，动直线 ll 分别交直线 l1l_1，l2l_2 于 AA，BB 两点（AA，BB 分别在第一，四象限），且 △OAB\triangle OAB 的面积恒为 88，试探究：是否存在总与直线 ll 有且只有一个公共点的双曲线 EE？若存在，求出双曲线 EE 的方程；若不存在，说明理由.

2014 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知直线 x−2y+2=0x - 2y + 2 = 0 经过椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左顶点 AA 和上顶点 DD，椭圆 CC 的右顶点为 BB，点 SS 是椭圆 CC 上位于 xx 轴上方的动点，直线 ASAS，BSBS 与直线 l:x=103l: x = \frac{10}{3} 分别交于 MM，NN 两点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 求线段 MNMN 的长度的最小值； (3) 当线段 MNMN 的长度最小时，在椭圆 CC 上是否存在这样的点 TT，使得 △TSB\triangle TSB 的面积为 15\frac{1}{5}？ 若存在，确定点 TT 的个数. 若不存在，说明理由.

2009 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点为 F(1,0)F(1,0)，且过点 (2,0)(2,0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若 ABAB 为垂直于 xx 轴的动弦，直线 l:x=4l: x = 4 与 xx 轴交于点 NN，直线 AFAF 与 BNBN 交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 恒在椭圆 CC 上； (ii) 求 △AMN\triangle AMN 面积的最大值.

2008 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知方向向量为 v=(1,3)\boldsymbol{v} = (1, \sqrt{3}) 的直线 ll 过点 (0,−23)(0, -2\sqrt{3}) 和椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的焦点，且椭圆 CC 的中心关于直线 ll 的对称点在椭圆 CC 的右准线上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 是否存在过点 E(−2,0)E(-2,0) 的直线 mm 交椭圆 CC 于点 MM，NN，满足 OM→⋅ON→=436cot⁡∠MON≠0\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = \frac{4}{3}\sqrt{6}\cot \angle MON \neq 0（OO 为原点）. 若存在，求直线 mm 的方程；若不存在，请说明理由.

2005 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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12解析几何★★★★★
如图，BB 地在 AA 地的正东方向 4 km4 \mathrm{~km} 处，CC 地在 BB 地的北偏东 30∘30^{\circ} 方向 2 km2 \mathrm{~km} 处，河流的沿岸 PQPQ（曲线）上任意一点到 AA 的距离比到 BB 的距离远 2 km2 \mathrm{~km}. 现要在曲线 PQPQ 上选一处 MM 建一座码头，向 BB，CC 两地转运货物. 经测算，从 MM 到 BB，CC 两地修建公路的费用分别是 a 万元/kma\text{ 万元}/\mathrm{km}，2a 万元/km2a\text{ 万元}/\mathrm{km}，那么修建这两条公路的总费用最低是（\quad）
A.
(27−2)a 万元(2\sqrt{7}-2)a\text{ 万元}
B.
5a 万元5a\text{ 万元}
C.
(27+1)a 万元(2\sqrt{7}+1)a\text{ 万元}
D.
(27+3)a 万元(2\sqrt{7}+3)a\text{ 万元}

2004 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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