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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1），过 EE 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线被 EE 截得的线段长为 2\sqrt{2}.
(1) 求 EE 的离心率； (2) 设 OO 为坐标原点，给定点 G(t,0)G\left( t,0 \right)（t≠0t\ne 0）. A(x0,y0)A\left( x_0,y_0 \right)（y0≠0y_0\ne 0）为 EE 上的点，过 AA 作 yy 轴的垂线，垂足为 BB，直线 OAOA 与直线 GBGB 的交点为 PP，当 AA 在 EE 上运动时，点 PP 的轨迹为 MM.
(i) 求 MM 的方程； (ii) 当 tt 为何值时，MM 有对称中心？当 MM 有对称中心时，将 MM 平移后得到曲线 M′M'，使得 OO 为 M′M' 的对称中心，说明 M′M' 是什么曲线.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的右焦点为 F(2,0)F(2,0)，渐近线方程为 y=±3xy=\pm \sqrt3 x.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过 FF 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，点 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2) 在 CC 上，且 x1>x2>0x_1>x_2>0，y1>0y_1>0. 过 PP 且斜率为 −3-\sqrt3 的直线与过 QQ 且斜率为 3\sqrt3 的直线交于点 MM. 从下面 \circled1\circled{1}，\circled2\circled{2}，\circled3\circled{3} 中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① MM 在 ABAB 上； ② PQ∥ABPQ\parallel AB； ③ ∣MA∣=∣MB∣|MA|=|MB|.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
圆 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 的切线与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 PP（如图）. 双曲线 C1:x2a2−y2b2=1C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 过点 PP 且离心率为 3\sqrt{3}.
(1) 求 C1C_1 的方程； (2) 椭圆 C2C_2 过点 PP 且与 C1C_1 有相同的焦点，直线 ll 过 C2C_2 的右焦点且与 C2C_2 交于 AA，BB 两点，若以线段 ABAB 为直径的圆过点 PP，求 ll 的方程.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 的中心在原点 OO，长轴左，右端点 MM，NN 在 xx 轴上，椭圆 C2C_2 的短轴为 MNMN，且 C1C_1，C2C_2 的离心率都为 ee. 直线 l⊥MNl \perp MN，ll 与 C1C_1 交于两点，与 C2C_2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD.
(1) 设 e=12e = \frac{1}{2}，求 ∣BC∣|BC| 与 ∣AD∣|AD| 的比值. (2) 当 ee 变化时，是否存在直线 ll，使得 BO∥ANBO \parallel AN，并说明理由.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_{1} 的中心在原点 OO，长轴左，右端点 MM，NN 在 xx 轴上，椭圆 C2C_{2} 的短轴为 MNMN，且 C1C_{1}，C2C_{2} 的离心率都为 ee. 直线 l⊥MNl \perp MN，ll 与 C1C_{1} 交于两点，与 C2C_{2} 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD.
(1) 设 e=12e = \frac{1}{2}，求 ∣BC∣|BC| 与 ∣AD∣|AD| 的比值； (2) 当 ee 变化时，是否存在直线 ll，使得 BO∥ANBO \parallel AN，并说明理由.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知正三角形 OABOAB 的三个顶点都在抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 上，其中 OO 为坐标原点，设圆 CC 是 △OAB\triangle OAB 的外接圆（点 CC 为圆心）.
(1) 求圆 CC 的方程. (2) 设圆 MM 的方程为 (x−4−7cos⁡θ)2+(y−7sin⁡θ)2=1(x - 4 - 7\cos \theta)^2 + (y - 7\sin \theta)^2 = 1，过圆 MM 上任意一点 PP 分别作圆 CC 的两条切线 PEPE，PFPF，切点为 EE，FF，求 CE→⋅CF→\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CF} 的最大值和最小值.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})， B(x2,y2)B(x_{2},y_{2})（x1≠0x_{1}\neq 0，x2≠0x_{2}\neq 0）是抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）上的两个动点. OO 是坐标原点，向量 OA→\overrightarrow{OA}， OB→\overrightarrow{OB} 满足 ∣OA→+OB→∣=∣OA→−OB→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}\right|，设圆 CC 的方程为 x2+y2−(x1+x2)x−(y1+y2)y=0x^{2} + y^{2} - (x_{1} + x_{2})x - (y_{1} + y_{2})y = 0.
(1) 证明线段 ABAB 是圆 CC 的直径； (2) 当圆 CC 的圆心到直线 x−2y=0x - 2y = 0 的距离的最小值为 255\frac{2\sqrt{5}}{5} 时，求 pp 的值.

2006 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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