设圆 $C$ 位于抛物线 $y^{2} = 2x$ 与直线 $x = 3$ 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 $C$ 的半径能取到的最大值为______. \begin{answer} $\sqrt{6} - 1$ \end{answer}

\begin{solution} 记封闭区域为 $\Omega=\{(x,y):y^2\leqslant2x,\ x\leqslant3\}$. 该区域关于 $x$ 轴对称且为凸集，因此若半径为 $r$ 的圆面位于其中，关于 $x$ 轴反射后再取两个圆心的中点，仍可得到位于区域内的同半径圆面. 故不妨设圆心为 $(h,0)$.

由直线 $x=3$ 的限制，得 $h+r\leqslant3$. 对圆周上的点写成 $x=h+ru$，$y=rv$，其中 $u^2+v^2=1$. 要使圆面位于抛物线 $y^2=2x$ 的右侧，需要对所有 $-1\leqslant u\leqslant1$ 有 $h+ru\geqslant\frac{r^2v^2}{2}=\frac{r^2(1-u^2)}{2}$，即 $h\geqslant\frac{r^2}{2}(1-u^2)-ru$. 当 $r\geqslant1$ 时，右端关于 $u$ 的最大值在 $u=-\frac{1}{r}$ 处取得，最大值为 $\frac{r^2+1}{2}$. 半径小于 $1$ 时不可能达到下面构造的半径 $\sqrt{6}-1>1$，所以求最大值时可取 $r\geqslant1$. 于是 $\frac{r^2+1}{2}\leqslant h\leqslant3-r$，从而 $r^2+2r-5\leqslant0$，故 $r\leqslant\sqrt{6}-1$.

取 $r=\sqrt{6}-1$，$h=3-r=4-\sqrt{6}$. 此时 $\frac{r^2+1}{2}=4-\sqrt{6}=h$，上述两个边界条件同时满足，所得圆面确实位于 $\Omega$ 内. 因此半径能取到的最大值为 $\sqrt{6}-1$. \end{solution}