设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与圆 $(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}$（$r > 0$）相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点. 若这样的直线 $l$ 恰有 $4$ 条，则 $r$ 的取值范围是（ ）

已知点 $A(-1, 0)$，$B(1, 0)$，$C(0, 1)$，直线 $y = ax + b$（$a > 0$）将 $\triangle ABC$ 分割为面积相等的两部分，则 $b$ 的取值范围是（ ）

设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^{\circ}$ 的直线 $A_{1}B_{1}$ 和 $A_{2}B_{2}$，使 $|A_{1}B_{1}| = |A_{2}B_{2}|$，其中 $A_{1}$，$B_{1}$ 和 $A_{2}$，$B_{2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 取坐标轴沿双曲线的实轴、虚轴，则可设 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$. 过原点、方向角为 $\theta$ 的直线上的点可写为 它与双曲线相交的条件为 且弦长为 $2|\rho|$. 两条方向相差 $\frac\pi3$ 的直线弦长相等，当且仅当 整理得 故候选的两对直线分别可取方向角 $\left(-\frac\pi6,\frac\pi6\right)$，$\left(\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right)$. 第一对为割线的条件是 第二对为割线的条件是 因此当 $\frac{2\sqrt3}{3}<e\leqslant2$ 时恰有第一对；$e>2$ 时两对均存在，而 $e=\frac{2\sqrt3}{3}$ 或更小时第一对也不是有限割线. 故离心率范围为 选 A. \end{solution}

如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4 \mathrm{~km}$ 处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2 \mathrm{~km}$ 处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2 \mathrm{~km}$. 现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B$，$C$ 两地转运货物. 经测算，从 $M$ 到 $B$，$C$ 两地修建公路的费用分别是 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，$2a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，那么修建这两条公路的总费用最低是（$\quad$）