已知点 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，动点 $M(x,y)$ 满足直线 $AM$ 与 $BM$ 的斜率之积为 $-\dfrac12$. 记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1) 求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限，$PE\perp x$ 轴，垂足为 $E$，连接 $QE$ 并延长交 $C$ 于点 $G$.

(i) 证明：$\triangle PQG$ 是直角三角形； (ii) 求 $\triangle PQG$ 面积的最大值.

如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$AB$ 是圆 $O$ 的直径）. 规划在公路 $l$ 上选两个点 $P$，$Q$，并修建两段直线型道路 $PB$，$QA$. 规划要求：线段 $PB$，$QA$ 上的所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径. 已知点 $A$，$B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C$，$D$ 为垂足），测得 $AB=10$，$AC=6$，$BD=12$（单位：百米）.

(1) 若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长； (2) 在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米），求当 $d$ 最小时，$P$，$Q$ 两点间的距离.

如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$，$B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧. 记 $\triangle AFG$，$\triangle CQG$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$.

(1) 求 $p$ 的值及抛物线的准线方程； (2) 求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.