已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $A\left( 2,1 \right)$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 点 $M$，$N$ 在 $C$ 上，且 $AM\perp AN$，$AD\perp MN$，$D$ 为垂足. 证明：存在定点 $Q$，使得 $|DQ|$ 为定值.

已知双曲线 $\Gamma_1:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与圆 $\Gamma_2:x^2+y^2=4+b^2$（$b>0$）交于点 $A(x_A,y_A)$（第一象限），曲线 $\Gamma$ 为 $\Gamma_1$，$\Gamma_2$ 上取满足 $x>|x_A|$ 的部分.

(1) 若 $x_A=\sqrt6$，求 $b$ 的值； (2) 当 $b=\sqrt5$，$\Gamma_2$ 与 $x$ 轴交点记作点 $F_1$，$F_2$，$P$ 是曲线 $\Gamma$ 上一点，且在第一象限，且 $|PF_1|=8$，求 $\angle F_1PF_2$； (3) 过点 $D\left(0,\frac{b^2}{2}+2\right)$ 斜率为 $-\frac{b}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 只有两个交点，记为 $M$，$N$，用 $b$ 表示 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$，并求 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$ 的取值范围.

如图，已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，抛物线 $C_2:y^2=2px$（$p>0$），点 $A$ 是椭圆 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_1$ 于点 $B$，交抛物线 $C_2$ 于 $M$（$B$，$M$ 不同于 $A$）.

(1) 若 $p=\dfrac{1}{16}$，求抛物线 $C_2$ 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值.