在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $(0,\frac12)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$.

(1) 求 $W$ 的方程； (2) 已知矩形 $ABCD$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $ABCD$ 的周长大于 $3\sqrt3$.

已知圆 $O$ 的半径为 1，直线 $PA$ 与 $O$ 相切于 $A$，$\overline{PB}\cap\overline{PC}$ 与 $O$ 相交于 $B$，$C$，$D$ 为 $BC$ 中点，若 $PO=2$，则 $PA\cdot PD$ 的最大值为（ ）

已知椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1$ （$m>0$，$\ m\neq \sqrt3$）.

(1) 若 $m=2$，求椭圆 $\Gamma$ 的离心率； (2) 设 $A_1$，$A_2$ 为椭圆 $\Gamma$ 的左右顶点，若椭圆 $\Gamma$ 上一点 $E$ 的纵坐标为 $1$，且 $\overrightarrow{EA_1}\cdot\overrightarrow{EA_2}=-2$，求 $m$ 的值； (3) 若 $P$ 为椭圆 $\Gamma$ 上一点，过点 $P$ 作一条斜率为 $\sqrt3$ 的直线与双曲线 $\frac{y^2}{5m^2}-\frac{x^2}{5}=1$ 仅有一个公共点，求 $m$ 的取值范围.