设计一条美丽的丝带, 其造型可以看作图中曲线 $C$ 的一部分. 已知 $C$ 过坐标原点 $O$, 且 $C$ 上的点满足: 横坐标大于 $-2$; 到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a$ ($a < 0$) 的距离之积为 4. 则 ( )

已知双曲线 $C: x^2 - y^2 = m (m > 0)$, 点 $P_1(5, 4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0 < k < 1$. 构造点 $P_n$: 过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点.

(1) 若 $k = \frac{1}{2}$, 求 $x_2, y_2$;

(2) 证明: $\{x_n - y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列;

(3) 证明: 对于任意正整数 $n$, $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积 $S_n = S_{n+1}$.