设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|AB| = \sqrt{10}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$.

(i) 设 $P(m, n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (ii) 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的3倍，求 $|PQ|$ 的最大值.

在平面直角坐标系中，已知曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$（$y\ge0$），点 $P$，$Q$ 分别为 $\Gamma$ 上不同的两点，$T(t,0)$.

(1) 求 $\Gamma$ 所在椭圆的离心率； (2) 若 $T(1,0)$，$Q$ 在 $y$ 轴上，且 $T$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt5}{5}$，求 $P$ 的坐标； (3) 是否存在 $t$，使得 $\triangle TPQ$ 是以 $T$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 $t$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.