已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$），过 $E$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 截得的线段长为 $\sqrt{2}$.

(1) 求 $E$ 的离心率； (2) 设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G\left( t,0 \right)$（$t\ne 0$）. $A\left( x_0,y_0 \right)$（$y_0\ne 0$）为 $E$ 上的点，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B$，直线 $OA$ 与直线 $GB$ 的交点为 $P$，当 $A$ 在 $E$ 上运动时，点 $P$ 的轨迹为 $M$.

(i) 求 $M$ 的方程； (ii) 当 $t$ 为何值时，$M$ 有对称中心？当 $M$ 有对称中心时，将 $M$ 平移后得到曲线 $M'$，使得 $O$ 为 $M'$ 的对称中心，说明 $M'$ 是什么曲线.

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点是 $\left( 2,0 \right)$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 过点 $A\left( 1,1 \right)$，斜率为 $k$（$k\neq \pm 1$）的直线交椭圆 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，$B$ 关于 $y=x$ 的对称点为 $D$，$DC$ 交 $y=x$ 于 $Q$，若 $\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}$，求 $k$.

已知双曲线 $\Gamma:x^2-y^2=1$，点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，$F_1$，$F_2$ 分别为双曲线的左，右焦点.

(1) 求点 $\left( 2,0 \right)$ 到 $\Gamma$ 渐近线的距离； (2) 若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1$，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积； (3) 记 $\Omega$ 为双曲线 $x^2-y^2=1$ 中满足 （$x>0$，$\ y\ge -1$） 或 （$x<0$，$\ y\le -1$） 的部分. 过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $\Omega$ 于 $P$，$Q$ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 $F_2$ 的直线 $m$ 交 $\Omega$ 于 $M$，$N$ 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 $\lambda$，使得对任意直线 $l$，都存在唯一对应的直线 $m$ 满足 $\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|$？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.