甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

已知 $a$ 为正实数，$n$ 为自然数，抛物线 $y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$. 设 $f(n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.

(1) 用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$； (2) 求对所有 $n$ 都有 $\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n}{n + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值； (3) 当 $0 < a < 1$ 时，比较 $\frac{1}{f(1) - f(2)} + \frac{1}{f(2) - f(4)} + \cdots + \frac{1}{f(n) - f(2n)}$ 与 $6 \cdot \frac{f(1) - f(n + 1)}{f(0) - f(1)}$ 的大小，并说明理由.

设函数 $f(x) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x$（$n \in \mathbf{N}$，且 $n > 1$，$x \in \mathbf{R}$）.

(1) 当 $x = 6$ 时，求 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x$ 的展开式中二项式系数最大的项； (2) 对任意的实数 $x$，证明 $\frac{f(2x) + f(2)}{2} > f'(x)$（$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数）； (3) 是否存在 $a \in \mathbf{N}$，使得 $an < \sum_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < (a + 1)n$ 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.