随机将 $1$，$2$，$\cdots$，$2n$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$n \geqslant 2$）这 $2n$ 个连续正整数分成 $A$，$B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最小数为 $a_{1}$，最大数为 $a_{2}$；$B$ 组最小数为 $b_{1}$，最大数为 $b_{2}$，记 $\xi = a_{2} - a_{1}$，$\eta = b_{2} - b_{1}$.

(1) 当 $n = 3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； (2) 令 $C$ 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P(C)$； (3) 对（2）中的事件 $C$，$\bar{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P(\bar{C})$ 和 $P(C)$ 的大小关系，并说明理由.

将连续正整数 $1$，$2$，$\cdots$，$n$ （$n \in \mathbf{N}^*$） 从小到大排列构成一个数 $123\cdots n$，$F(n)$ 为这个数的位数 （如 $n = 12$ 时，此数为 $123456789101112$，共有 15 个数字，$F(12) = 15$），现从这个数中随机取一个数字，$p(n)$ 为恰好取到 0 的概率.

(1) 求 $p(100)$； (2) 当 $n \leqslant 2014$ 时，求 $F(n)$ 的表达式； (3) 令 $g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$h(n) = f(n) - g(n)$，$S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}$，求当 $n \in S$ 时 $p(n)$ 的最大值.