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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
设 M={(xi,yi)∣xi,yi∈A}M=\{(x_i,y_i)\mid x_i,y_i\in A\}，A={1,2,3,4,5,6,7,8}A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. 从 MM 中选 nn 个有序数对构成一列 (x1,y1)(x_1,y_1)，…\dots，(xn,yn)(x_n,y_n). 若相邻两项满足 ∣xi+1−xi∣=3 或 4|x_{i+1}-x_i|=3\text{\ 或\ }4，∣yi+1−yi∣=4 或 3|y_{i+1}-y_i|=4\text{\ 或\ }3，i=1i=1，…\dots，n−1n-1，则该列称为 kk 列.
(1) 若 kk 列的第一项为 (3,3)(3,3)，求第二项. (2) 若 τ\tau 为 kk 列，且 ii 为奇数时 xi∈{1,2,7,8}x_i\in\{1,2,7,8\}，ii 为偶数时 xi∈{3,4,5,6}x_i\in\{3,4,5,6\}，判断 (3,2)(3,2) 与 (4,4)(4,4) 能否同时在 τ\tau 中，并说明. (3) 证明 MM 中所有元素都不构成 kk 列.

2025 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知集合
M={(i,j,k,w)|i∈{1,2}, j∈{3,4}, k∈{5,6},w∈{7,8}, 且 i+j+k+w 为偶数}M=\left\{(i,j,k,w)\middle|\begin{gathered}i\in\{1,2\},\ j\in\{3,4\},\ k\in\{5,6\},\\ w\in\{7,8\},\ \text{且 }i+j+k+w\ \text{为偶数}\end{gathered}\right\}
.
给定数列 A:a1A:a_1，a2a_2，⋯\cdots，a8a_8，和序列 Ω:T1\Omega:T_1，T2T_2，⋯\cdots，TsT_s，其中 Tt=(it,jt,kt,wt)∈MT_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M（t=1t=1，22，⋯\cdots，ss）. 对数列 AA 进行如下变换：将 AA 的第 i1i_1，j1j_1，k1k_1，w1w_1 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 T1(A)T_1(A)；将 T1(A)T_1(A) 的第 i2i_2，j2j_2，k2k_2，w2w_2 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 T2T1(A)T_2T_1(A)；……；以此类推，得到 Ts⋯T2T1(A)T_s\cdots T_2T_1(A)，简记为 Ω(A)\Omega(A).
(1) 给定数列 A:1A:1，33，22，44，66，33，11，99 和序列 Ω:(1,3,5,7)\Omega:(1,3,5,7)，(2,4,6,8)(2,4,6,8)，(1,3,5,7)(1,3,5,7)，写出 Ω(A)\Omega(A)； (2) 是否存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 为 a1+2a_1+2，a2+6a_2+6，a3+4a_3+4，a4+2a_4+2，a5+8a_5+8，a6+2a_6+2，a7+4a_7+4，a8+4a_8+4？若存在，写出一个符合条件的 Ω\Omega；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 AA 的各项均为正整数，且 a1+a3+a5+a7a_1+a_3+a_5+a_7 为偶数，求证：“存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8”.

2024 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★★
设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，对 11，22，⋯\cdots，nn 的一个排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n，如果当 s<ts<t 时，有 is>iti_s>i_t，则称 (is,it)(i_s,i_t) 是排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的一个逆序，排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的所有逆序的总个数称为其逆序数. 例如：对 11，22，33 的一个排列 231231，只有两个逆序 (2,1)(2,1)，(3,1)(3,1)，则排列 231231 的逆序数为 2. 记 fn(k)f_n(k) 为 11，22，⋯\cdots，nn 的所有排列中逆序数为 kk 的全部排列的个数.
(1) 求 f3(2)f_3(2)，f4(2)f_4(2) 的值； (2) 求 fn(2)f_n(2)（n≥5n\ge5）的表达式（用 nn 表示）.

2018 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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22概率与统计★★★★★
随机将 11，22，⋯\cdots，2n2n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，n⩾2n \geqslant 2）这 2n2n 个连续正整数分成 AA，BB 两组，每组 nn 个数，AA 组最小数为 a1a_{1}，最大数为 a2a_{2}；BB 组最小数为 b1b_{1}，最大数为 b2b_{2}，记 ξ=a2−a1\xi = a_{2} - a_{1}，η=b2−b1\eta = b_{2} - b_{1}.
(1) 当 n=3n = 3 时，求 ξ\xi 的分布列和数学期望； (2) 令 CC 表示事件 ξ\xi 与 η\eta 的取值恰好相等，求事件 CC 发生的概率 P(C)P(C)； (3) 对（2）中的事件 CC，Cˉ\bar{C} 表示 CC 的对立事件，判断 P(Cˉ)P(\bar{C}) 和 P(C)P(C) 的大小关系，并说明理由.

2014 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
将连续正整数 11，22，⋯\cdots，nn （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*） 从小到大排列构成一个数 123⋯n123\cdots n，F(n)F(n) 为这个数的位数 （如 n=12n = 12 时，此数为 123456789101112123456789101112，共有 15 个数字，F(12)=15F(12) = 15），现从这个数中随机取一个数字，p(n)p(n) 为恰好取到 0 的概率.
(1) 求 p(100)p(100)； (2) 当 n⩽2014n \leqslant 2014 时，求 F(n)F(n) 的表达式； (3) 令 g(n)g(n) 为这个数中数字 0 的个数，f(n)f(n) 为这个数中数字 9 的个数，h(n)=f(n)−g(n)h(n) = f(n) - g(n)，S={n∣h(n)=1,n⩽100,n∈N∗}S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}，求当 n∈Sn \in S 时 p(n)p(n) 的最大值.

2014 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23集合与逻辑基础★★★★★
设集合 Pn={1,2,⋯ ,n}P_n = \{1,2,\cdots,n\}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 记 f(n)f(n) 为同时满足下列条件的集合 AA 的个数：
① A⊆PnA \subseteq P_n； ② 若 x∈Ax \in A，则 2x∉A2x \notin A； ③ 若 x∈CPnAx \in C_{P_n}A，则 2x∉CPnA2x \notin C_{P_n}A.
(1) 求 f(4)f(4)； (2) 求 f(n)f(n) 的解析式（用 nn 表示）.

2012 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 aa 为正实数，nn 为自然数，抛物线 y=−x2+an2y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2} 与 xx 轴正半轴相交于点 AA. 设 f(n)f(n) 为该抛物线在点 AA 处的切线在 yy 轴上的截距.
(1) 用 aa 和 nn 表示 f(n)f(n)； (2) 求对所有 nn 都有 f(n)−1f(n)+1⩾nn+1\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n}{n + 1} 成立的 aa 的最小值； (3) 当 0<a<10 < a < 1 时，比较 1f(1)−f(2)+1f(2)−f(4)+⋯+1f(n)−f(2n)\frac{1}{f(1) - f(2)} + \frac{1}{f(2) - f(4)} + \cdots + \frac{1}{f(n) - f(2n)} 与 6⋅f(1)−f(n+1)f(0)−f(1)6 \cdot \frac{f(1) - f(n + 1)}{f(0) - f(1)} 的大小，并说明理由.

2012 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 Sn={X∣X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯ ,n}S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\} （n⩾2n \geqslant 2），对于 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})，B=(b1,b2,⋯ ,bn)∈SnB = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}，定义 AA 与 BB 的差为 A−B=(∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,⋯ ,∣an−bn∣)A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)； AA 与 BB 之间的距离为 d(A,B)=∑i=1n∣ai−bi∣d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|.
(1) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，有 A−B∈SnA - B \in S_n，且 d(A−C,B−C)=d(A,B)d(A - C, B - C) = d(A, B)； (2) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，d(A,B)d(A, B)，d(A,C)d(A, C)，d(B,C)d(B, C) 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 P⊆SnP \subseteq S_n，PP 中有 mm（m⩾2m \geqslant 2） 个元素，记 PP 中所有两元素间距离的平均值为 d‾(P)\overline{d}(P). 证明： d‾(P)⩽mn2(m−1)\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}.

2010 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 A={a1,a2,⋯ ,ak}A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}（k⩾2k \geqslant 2），其中 ai∈Za_{i} \in \mathbf{Z}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，kk）. 由 AA 中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)∣a∈A,b∈A,a+b∈A}S = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a + b \in A\}；T={(a,b)∣a∈A,b∈A,a−b∈A}T = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}，其中 (a,b)(a, b) 是有序数对，集合 SS 和 TT 中的元素个数分别为 mm 和 nn. 若对于任意的 a∈Aa \in A，总有 −a∉A-a \notin A，则称集合 AA 具有性质 PP.
(1) 检验集合 {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} 与 {−1,2,3}\{-1, 2, 3\} 是否具有性质 PP，并对其中具有性质 PP 的集合，写出相应的集合 SS 和 TT. (2) 对任何具有性质 PP 的集合 AA，证明：n⩽k(k−1)2n \leqslant \frac{k(k - 1)}{2}. (3) 判断 mm 和 nn 的大小关系，并证明你的结论.

2007 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★★
设函数 f(x)=(1+1n)xf(x) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x（n∈Nn \in \mathbf{N}，且 n>1n > 1，x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 当 x=6x = 6 时，求 (1+1n)x\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x 的展开式中二项式系数最大的项； (2) 对任意的实数 xx，证明 f(2x)+f(2)2>f′(x)\frac{f(2x) + f(2)}{2} > f'(x)（f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数）； (3) 是否存在 a∈Na \in \mathbf{N}，使得 an<∑k=1n(1+1k)k<(a+1)nan < \sum_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < (a + 1)n 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 aa 的值；若不存在，请说明理由.

2007 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★★
已知 f0(x)=xnf_{0}(x) = x^{n}，fk(x)=fk−1′(x)fk−1(1)f_{k}(x) = \frac{f'_{k-1}(x)}{f_{k-1}(1)}，其中 k⩽nk \leqslant n（nn，k∈N+k\in\mathbf{N}_{+}）. 设 F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+⋯+Cnnfn(x2)F(x) = \mathrm C_n^0 f_0(x^{2}) + \mathrm C_n^1 f_1(x^{2}) + \cdots + \mathrm C_n^n f_n(x^{2})，x∈[−1,1]x \in [-1,1].
(1) 写出 fk(1)f_k(1)； (2) 证明：对任意的 x1x_{1}，x2∈[−1,1]x_{2}\in[-1,1]，恒有 ∣F(x1)−F(x2)∣⩽2n−1(n+2)−n−1|F(x_{1}) - F(x_{2})| \leqslant 2^{n-1}(n+2) - n - 1.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★★
在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求 nn 个不同的数 v1v_1，v2v_2，⋯\cdots，vnv_n 的和 ∑i=1nvi=v1+v2+⋯+vn\sum_{i=1}^{n}v_i=v_1+v_2+\cdots+v_n，计算开始前，nn 个数存贮在 nn 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数. 计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到 ∑i=1nvi\sum_{i=1}^{n}v_i，方法可用下表表示：
\begin{array}{c} \hline \multirow{2}{*}{机器号} & \multirow{2}{*}{初始时} & \multicolumn{2}{c|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第三单位时间} \\ \cline{3-8} & & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \\ \hline 1 & $v_1$ & 2 & $v_1+v_2$ & & & & \\ \hline 2 & $v_2$ & 1 & $v_2+v_1$ & & & & \\ \hline \end{array}
(1) 当 n=4n=4 时，至少需要多少个单位时间可完成计算？ 把你设计的方法填入下表：
\begin{array}{c} \hline \multirow{2}{*}{机器号} & \multirow{2}{*}{初始时} & \multicolumn{2}{c|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第三单位时间} \\ \cline{3-8} & & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \\ \hline 1 & $v_1$ & & & & & & \\ \hline 2 & $v_2$ & & & & & & \\ \hline 3 & $v_3$ & & & & & & \\ \hline 4 & $v_4$ & & & & & & \\ \hline \end{array}
(2) 当 n=128n=128 时，要使所有机器都得到 ∑i=1nvi\sum_{i=1}^{n}v_i，至少需要多少个单位时间可完成计算？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 一开始每台机器只含有一个初始数. 一个单位时间内，每台机器至多从一台其他机器读取一次数据，因此经过一个单位时间后，每台机器至多含有两个初始数，不能得到四个初始数的总和. 所以至少需要两个单位时间.
第一单位时间令机器 11 与机器 22 互相读取，机器 33 与机器 44 互相读取，于是四台机器分别得到 v1+v2v_1+v_2、v1+v2v_1+v_2、v3+v4v_3+v_4、v3+v4v_3+v_4. 第二单位时间令机器 11 与机器 33 互相读取，机器 22 与机器 44 互相读取，于是四台机器都得到 v1+v2+v3+v4=∑i=14viv_1+v_2+v_3+v_4=\sum_{i=1}^{4}v_i. 该方法确实在两个单位时间内完成，因此最少需要 22 个单位时间.
对应的填写如下： \begin{center} \begin{tabular}{l|ll|ll|ll} 机器号 & \multicolumn{2}{l|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{l|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{l}{第三单位时间} \ & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \ \hline 1 & 2 & v1+v2v_1+v_2 & 3 & v1+v2+v3+v4v_1+v_2+v_3+v_4 & & \ 2 & 1 & v2+v1v_2+v_1 & 4 & v1+v2+v3+v4v_1+v_2+v_3+v_4 & & \ 3 & 4 & v3+v4v_3+v_4 & 1 & v1+v2+v3+v4v_1+v_2+v_3+v_4 & & \ 4 & 3 & v4+v3v_4+v_3 & 2 & v1+v2+v3+v4v_1+v_2+v_3+v_4 & & \end{tabular} \end{center}
\item 经过一个单位时间，每台机器所含初始数据的种数至多扩大为原来的两倍. 经过 kk 个单位时间后，每台机器至多含有 2k2^{k} 个初始数. 要使每台机器都含有 128128 个初始数，必须满足 2k⩾128=272^{k}\geqslant128=2^{7}，所以至少需要 77 个单位时间. 另一方面，将机器编号为 00，11，…\ldots，127127，在第 jj 个单位时间（j=0j=0，11，…\ldots，66）让编号为 ii 的机器读取编号为 ixor2ji\mathbin{\mathsf{xor}}2^{j} 的机器中的数据，其中 xor\mathsf{xor} 表示按位异或. 每次配对的两台机器互相读取，经过第 j+1j+1 个单位时间后，每台机器所含数据数翻倍. 七个单位时间后所有机器都得到总和. 因此最少需要 77 个单位时间. \end{enumerate} \end{solution}

2002 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★★
已知 ii，mm，nn 是正整数，且 1<i⩽m<n1 < i \leqslant m < n.
(1) 证明： niAmi<miAnin^i \mathrm A_{m}^{i} < m^i \mathrm A_{n}^{i}； (2) 证明： (1+m)n>(1+n)m(1+m)^{n}>(1+n)^{m}.

2001 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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