已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, $M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}$。从 $M$ 中选取 $n$ 个不同的元素组成一个序列: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$, 其中 $(x_i, y_i)$ 称为该序列的第 $i$ 项 ($i = 1, 2, \cdots, n$), 若该序列的相邻项 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$ 满足 $\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases}$ ($i = 1, 2, \cdots, n-1$), 则称该序列为 $K$ 列。

(1) 对于第 $1$ 项为 $(3, 3)$ 的 $K$ 列, 写出它的第 $2$ 项;

(2) 设 $\Gamma$ 为 $K$ 列, 且 $\Gamma$ 中的项 $(x_i, y_i)$ ($i = 1, 2, \cdots, n$) 满足: 当 $i$ 为奇数时, $x_i \in \{1, 2, 7, 8\}$; 当 $i$ 为偶数时, $x_i \in \{3, 4, 5, 6\}$, 判断 $(3, 2)$, $(4, 4)$ 能否同时为 $\Gamma$ 中的项, 并说明理由;

(3) 证明: 由 $M$ 的全部元素组成的序列都不是 $K$ 列。

设 $m$ 为正整数, 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j\ (i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有的 $(i,j)$, $1 \le i < j \le 6$, 使数列 $a_1, a_2, \ldots, a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列;

(2) 当 $m \ge 3$ 时, 证明: 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列;

(3) 从 $1, 2, \ldots, 4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j\ (i<j)$, 记数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$, 证明: $P_m > \frac{1}{8}$.