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15高考真题5分解析几何★★★★★
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2 = 2x 上有 AA、BB、CC、DD 四个点，其纵坐标分别为 yA,yB,yC,yDy_A, y_B, y_C, y_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有 ______。
①若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_A y_B = -2；
②yAyB=yCyDy_A y_B = y_C y_D；
③∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON| = 2|OP|^2；
④∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣|y_A - y_C||OP| = |y_B - y_D||OM|；
⑤S△APCS△BPD=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle BPD}} = (\frac{|OM|}{|ON|})^2

2026天津卷 · 第 15 题 · 填空题

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1（a>1a>1），过右焦点垂直于 xx 轴的直线被 EE 所截线段长为 2\sqrt{2}。
（1）求 EE 的离心率；
（2）设 OO 为坐标原点，给定点 G(t0,0)G(t_0, 0)（t0≠0t_0 \neq 0）；A(x0,y0)A(x_0, y_0)（y0≠0y_0 \neq 0）在 EE 上，过点 AA 作 yy 轴的垂线，交于点 BB，AOAO 与 GBGB 交于点 PP。当 AA 在 EE 上运动时，PP 的轨迹为 MM。
（i）求 MM 的方程；
（ii）曲线 MM 是否有中心点？当 t0t_0 为何值时，MM 有中心点？当 MM 有中心点时，平移 MM 到 M′M'，使 OO 为 M′M' 的中心点，说明 M′M' 为何形状？

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}。
（1）求 CC 的方程；
（2）设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR。
（i）若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程；
（ii）求 tan⁡∠PQR\tan\angle PQR 的最小值。

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19高考真题17分数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1 = 2，b1=1b_1 = 1，a2=b1+b2a_2 = b_1 + b_2，a4=b3−b1a_4 = b_3 - b_1。
(1) 求数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的通项公式；
(2) 记 En={x∈R∣x≤n,∃k∈N∗,x=ak 或 x=bk}E_n = \{x \in R \mid x \le n, \exists k \in N^*, x = a_k \text{ 或 } x = b_k\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数。
(i) 求 c3nc_{3n}；
(ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3n-1} (-1)^m \cdot a_m \cdot c_m。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf(x) = x\mathrm{e}^x + ax + b，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程为 y=−2x+1y = -2x+1。
（1）求 aa，bb；
（2）当 x>0x > 0 时，f(x+m)−f(x)>mf(x+m) - f(x) > m，求 mm 的取值范围；
（3）当 x>0x > 0 时，f(x+k)+f(k−x)>2f(k)f(x+k) + f(k-x) > 2f(k)，求 kk 的最小值。

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19高考真题17分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2x。对任意 x0∈Rx_0\in\mathbb{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}。
（1）若当 x⩾0x\geqslant 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)；
（2）若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\neq 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；
（3）设 f(x)f(x) 满足：①若 f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；②当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0)。
（i）证明：f(0)⩾1f(0)\geqslant 1；
（ii）证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增。

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20高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x) = e^x - \frac{2}{3}\sin x。
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程；
(2) 当 x∈[−13,+∞)x \in [-\frac{1}{3}, +\infty) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x) \ge 1 + \frac{x}{3}；
(3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af(\frac{1}{1}) \cdot f(\frac{1}{2}) \cdot f(\frac{1}{3}) \cdots f(\frac{1}{n}) \ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n \in N^* 都成立。

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11高考真题6分解析几何★★★★★
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2F_1, F_2, 左、右顶点分别为 A1,A2A_1, A_2, 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 M,NM, N 两点, 且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}, 则 （ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2 = \frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1| = 2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a = \sqrt{2} 时, 四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt{3}

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11高考真题4分三角函数★★★★★
小申同学观察发现, 生活中有时候影子可以完全投射在斜面上。某斜面上有两根长为 11 米且垂直于水平面放置的杆子, 与斜面的接触点分别为 AA、BB, 它们在阳光的照射下呈现出影子, 阳光可视为平行光, 其中 AA 处杆子的影子在水平面上, 长度为 0.40.4 米, BB 处杆子的影子完全在斜面上, 长度为 0.450.45 米。则斜面的坡角 θ=\theta =______。(结果精确到 0.01∘0.01^\circ)

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12高考真题4分平面向量★★★★★
已知 f(x)={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0, \end{cases} 向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} 是平面内三个不同的单位向量, 若 f(a⃗⋅b⃗)+f(b⃗⋅c⃗)+f(c⃗⋅a⃗)=0f(\vec{a} \cdot \vec{b}) + f(\vec{b} \cdot \vec{c}) + f(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0, 则 ∣a⃗+b⃗+c⃗∣|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| 的取值范围是______。

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3, 其中 0<k<130 < k < \frac{1}{3}。
(1) 证明: f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2) 设 x1,x2x_1, x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 的极值点和零点。
① 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)。证明: g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0, x_1) 单调递减;
② 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小, 并证明你的结论。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}, 下顶点为 AA, 右顶点为 B,∣AB∣=10B, |AB| = \sqrt{10}。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上, 点 RR 在射线 APAP 上, 且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3。
① 设 P(m,n)P(m,n), 求 RR 的坐标;
② 设 OO 为坐标原点, QQ 是 CC 上的动点, 直线 OROR 的斜率是直线 OPOP 的斜率的 33 倍, 求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB|=\sqrt{10}。
（1）求 CC 的方程；
（2）已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP|\cdot|AR|=3。
① 设 P(m,n)P(m,n)，求 RR 的坐标（用 m,nm,n 表示）；
② 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OQOQ 的斜率是直线 OPOP 的 33 倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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19高考真题17分概率与统计★★★★★
甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 11 分, 负者得 00 分。设每个球甲胜的概率为 pp (12<p<1\frac{1}{2} < p < 1), 乙胜的概率为 qq, p+q=1p + q = 1, 且各球的胜负相互独立。对正整数 k≥2k \ge 2, 记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 22 分的概率, qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 22 分的概率。
(1) 求 p3,p4p_3, p_4 (用 pp 表示);
(2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4, 求 pp;
(3) 证明: 对任意正整数 mm, p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
(1) 求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x 在区间 [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] 的最大值;
(2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi) 和 a∈Ra \in \mathbb{R}, 证明: 存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a-\theta, a+\theta] 使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta;
(3) 设 b∈Rb \in \mathbb{R}, 若存在 ϕ∈R\phi \in \mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+ϕ)≤b5\cos x - \cos(5x + \phi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbb{R} 恒成立, 求 bb 的最小值。

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19高考真题17分三角函数★★★★★
（1）求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x 在区间 [0,π4]\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] 的最大值；
（2）给定 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi) 和 a∈Ra\in\mathbb{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y\in[a-\theta,a+\theta] 使得 cos⁡y⩽cos⁡θ\cos y\leqslant\cos\theta；
（3）设 b∈Rb\in\mathbb{R}，若存在 φ∈R\varphi\in\mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)⩽b5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b 对 x∈Rx\in\mathbb{R} 恒成立，求 bb 的最小值。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知 a∈Ra \in \mathbb{R}, 函数 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x) = ax - (\ln x)^2。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有三个零点 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3, 且 x1<x2<x3x_1 < x_2 < x_3,
① 求 aa 的取值范围;
② 求证: (ln⁡x2−ln⁡x1)ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2 - \ln x_1)\ln x_3 < \frac{4e}{e - 1}。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域是 (−1,+∞)(-1, +\infty), f(0)=0f(0) = 0, 导函数 f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}。设 l1l_1 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(a,f(a))A(a, f(a)) (a≠0a \ne 0) 处的切线。
(1) 求 f′(x)f'(x) 的最大值;
(2) 当 −1<a<0-1 < a < 0 时, 证明: 除切点 AA 外, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在直线 l1l_1 的上方;
(3) 设过点 AA 的直线 l2l_2 与直线 l1l_1 垂直, l1,l2l_1, l_2 与 xx 轴交点的横坐标分别是 x1,x2x_1, x_2。若 a>0a > 0, 求 2a−x2−x1x2−x1\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1} 的取值范围。

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20高考真题14分解析几何★★★★★
设椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1 (a>5a > \sqrt{5}), 点 AA 为 Γ\Gamma 的右顶点, 点 M(0,m)M(0, m) (m>0m > 0)。
(1) 若 Γ\Gamma 的一个焦点是 (2,0)(2, 0), 求 Γ\Gamma 的离心率;
(2) 设 a=4a = 4, 椭圆 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}, 求 mm 的值;
(3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为 22, ll 与椭圆 Γ\Gamma 交于 CC、DD 两点, 且 ∠CMD\angle CMD 为钝角, 求 aa 的取值范围。

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21高考真题15分计数原理与组合数学★★★★★
已知集合 A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, M={(x,y)∣x∈A,y∈A}M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}。从 MM 中选取 nn 个不同的元素组成一个序列: (x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xn,yn)(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n), 其中 (xi,yi)(x_i, y_i) 称为该序列的第 ii 项 (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n), 若该序列的相邻项 (xi,yi),(xi+1,yi+1)(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}) 满足 {∣xi+1−xi∣=3,∣yi+1−yi∣=4\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases} 或 {∣xi+1−xi∣=4,∣yi+1−yi∣=3\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases} (i=1,2,⋯ ,n−1i = 1, 2, \cdots, n-1), 则称该序列为 KK 列。
(1) 对于第 11 项为 (3,3)(3, 3) 的 KK 列, 写出它的第 22 项;
(2) 设 Γ\Gamma 为 KK 列, 且 Γ\Gamma 中的项 (xi,yi)(x_i, y_i) (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n) 满足: 当 ii 为奇数时, xi∈{1,2,7,8}x_i \in \{1, 2, 7, 8\}; 当 ii 为偶数时, xi∈{3,4,5,6}x_i \in \{3, 4, 5, 6\}, 判断 (3,2)(3, 2), (4,4)(4, 4) 能否同时为 Γ\Gamma 中的项, 并说明理由;
(3) 证明: 由 MM 的全部元素组成的序列都不是 KK 列。

2025北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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21高考真题14分函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, 对于正实数 aa, 定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x),x∈R}M_a = \{x \mid f(x + a) = f(x), x \in \mathbb{R}\}。
(1) 设 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, 判断 π3\frac{\pi}{3} 是否是 MπM_\pi 中的元素, 并说明理由;
(2) 设 f(x)={x+2,x<0,x,x≥0,f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ \sqrt{x}, & x \ge 0, \end{cases} 且 Ma≠∅M_a \ne \varnothing, 求 aa 的取值范围;
(3) 若 y=f(x)y = f(x) 是偶函数, 当 x∈(0,1]x \in (0, 1] 时, f(x)=1−xf(x) = 1 - x, 且对任意 a∈(0,2)a \in (0, 2), 均有 Ma⊆M2M_a \subseteq M_2。写出当 x∈(1,2)x \in (1, 2) 时 f(x)f(x) 的表达式, 并证明: 对任意实数 cc, 函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 在区间 [−3,3][-3, 3] 上至多有 99 个零点。

2025上海卷 · 第 21 题 · 解答题

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08高考真题5分数列★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x) > f(x-1) + f(x-2), 且当 x<3x < 3 时 f(x)=xf(x) = x, 则下列结论中一定正确的是 ( )
A.
f(10)>100f(10) > 100
B.
f(20)>1000f(20) > 1000
C.
f(10)<1000f(10) < 1000
D.
f(20)<10000f(20) < 10000

2024新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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11高考真题6分解析几何★★★★★
设计一条美丽的丝带, 其造型可以看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO, 且 CC 上的点满足: 横坐标大于 −2-2; 到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a (a<0a < 0) 的距离之积为 4. 则 ( )
fig-01
A.
a=−2a = -2
B.
点 (22,0)(2\sqrt{2}, 0) 在 CC 上
C.
CC 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
D.
当点 (x0,y0)(x_0, y_0) 在 CC 上时, y0≤4x0+2y_0 \le \frac{4}{x_0+2}

2024新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3. (1) 若 b=0b=0, 且 f′(x)≥0f'(x) \ge 0, 求 aa 的最小值; (2) 证明: 曲线 y=f(x)y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若 f(x)>−2f(x) > -2 当且仅当 1<x<21 < x < 2, 求 bb 的取值范围.

2024新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题17分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=m(m>0)C: x^2 - y^2 = m (m > 0), 点 P1(5,4)P_1(5, 4) 在 CC 上, kk 为常数, 0<k<10 < k < 1. 构造点 PnP_n: 过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}, 令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点.
(1) 若 k=12k = \frac{1}{2}, 求 x2,y2x_2, y_2;
(2) 证明: {xn−yn}\{x_n - y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列;
(3) 证明: 对于任意正整数 nn, △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积 Sn=Sn+1S_n = S_{n+1}.

2024新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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