已知函数 $f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3$. (1) 若 $b=0$, 且 $f'(x) \ge 0$, 求 $a$ 的最小值; (2) 证明: 曲线 $y = f(x)$ 是中心对称图形; (3) 若 $f(x) > -2$ 当且仅当 $1 < x < 2$, 求 $b$ 的取值范围.