甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 $1$ 分, 负者得 $0$ 分。设每个球甲胜的概率为 $p$ ($\frac{1}{2} < p < 1$), 乙胜的概率为 $q$, $p + q = 1$, 且各球的胜负相互独立。对正整数 $k \ge 2$, 记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $2$ 分的概率, $q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2$ 分的概率。

(1) 求 $p_3, p_4$ (用 $p$ 表示);

(2) 若 $\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4$, 求 $p$;

(3) 证明: 对任意正整数 $m$, $p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}$。