小颖同学去某健康主题公园沿环形步道跑步锻炼, 每周两次, 每次跑五圈或六圈, 每周第一次跑五圈和六圈的概率都是 $0.5$。若第一次跑了五圈, 则第二次跑五圈和六圈的概率分别为 $0.4$ 和 $0.6$; 若第一次跑了六圈, 则第二次跑五圈和六圈的概率分别为 $0.6$ 和 $0.4$。小颖同学一周共跑十一圈的概率为______; 当小颖同学在一周内跑步不少于十一圈时, 则认为这一周运动量合格。假设各周之间跑步圈数互不影响, 在 $4$ 周的跑步锻炼中, 以 $X$ 表示小颖同学运动量合格的周数, 则 $X$ 的数学期望为______。

甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 $1$ 分, 负者得 $0$ 分。设每个球甲胜的概率为 $p$ ($\frac{1}{2} < p < 1$), 乙胜的概率为 $q$, $p + q = 1$, 且各球的胜负相互独立。对正整数 $k \ge 2$, 记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $2$ 分的概率, $q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2$ 分的概率。

(1) 求 $p_3, p_4$ (用 $p$ 表示);

(2) 若 $\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4$, 求 $p$;

(3) 证明: 对任意正整数 $m$, $p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}$。