双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 以 $F_1F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点, 且 $\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}$, 则 （ ）