已知双曲线 $\Gamma:x^2-y^2=1$，点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，$F_1$，$F_2$ 分别为双曲线的左，右焦点.

(1) 求点 $\left( 2,0 \right)$ 到 $\Gamma$ 渐近线的距离； (2) 若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1$，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积； (3) 记 $\Omega$ 为双曲线 $x^2-y^2=1$ 中满足 （$x>0$，$\ y\ge -1$） 或 （$x<0$，$\ y\le -1$） 的部分. 过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $\Omega$ 于 $P$，$Q$ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 $F_2$ 的直线 $m$ 交 $\Omega$ 于 $M$，$N$ 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 $\lambda$，使得对任意直线 $l$，都存在唯一对应的直线 $m$ 满足 $\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|$？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

$\left( i,j,k \right)$ 是 $1$，$2$，$3$ 的一个排列. 对函数 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对于任意 $x\in I$，都有 $f_1(x)\le f_i(x)$ 且 $f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)$，则称 $\left( i,j,k \right)$ 是关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的一个 $I$ 排列. 关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的 $I$ 排列总数记为 $n_I$.

(1) 对 $I=\left[ 3,+\infty \right)$，$f_1(x)=x$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1$，判断 $\left( 3,1,2 \right)$ 是否为 $I$ 排列； (2) 对 $I=\left( 0,+\infty \right)$，$f_1(x)=x-1$，$f_2(x)=x+m$，$f_3(x)=x^2$ 满足条件的 $n_I=6$，求 $m$ 的取值范围； (3) 对任意 $x\in \left[ 0,+\infty \right)$，都有 $0<F'(x)<1$. 令 $I=\left[ a,+\infty \right)$，$f_1(x)=F'(x)$，$f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)$，$f_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$. 证明：若 $F'(x)$ 严格减，则存在 $a>0$，使 $n_I\ge 4$；若 $F'(x)$ 严格增，则存在 $a\in \left( 0,1 \right)$，$n_I\neq 2$.

设 $D$ 是 $\mathbf{R}$ 的一个非空子集，$y=f(x)$ 是定义在 $D$ 上的函数. 对于点 $M(a,b)$，记 $s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2$. 若对于点 $P(x_0,f(x_0))$，函数 $y=s(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值，则称 $P$ 是 $M$ 的 $f$ 最近点.

(1) 对于 $f(x)=\frac{1}{x}$，$M(0,0)$，$D=(0,+\infty)$，求证：存在 $M$ 的 $f$ 最近点； (2) 对于 $f(x)=\mathrm{e}^x$，$M(1,0)$，$D=\mathbf{R}$，若曲线 $y=f(x)$ 上一点 $P$ 满足 $MP$ 垂直于 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线，则 $P$ 是否为 $M$ 的 $f$ 最近点？ (3) 已知 $D=\mathbf{R}$，$y=f(x)$ 的导函数为 $y=f'(x)$，且 $y=g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的函数值恒正. 对任意 $t\in \mathbf{R}$，点 $M_1$ 的坐标为 $(t-1,f(t)-g(t))$，点 $M_2$ 的坐标为 $(t+1,f(t)+g(t))$. 若对任意的 $t\in \mathbf{R}$，总存在 $y=f(x)$ 上一点 $P$，使得 $P$ 既是 $M_1$ 的 $f$ 最近点，又是 $M_2$ 的 $f$ 最近点，试求 $y=f(x)$ 的单调性.

已知 $f(x)=\ln x$. 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f(a_1)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_2)$，且 $a_2>0$；曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f(a_2)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $(0,a_3)$；以此类推，直至 $a_m\le 0$ 时停止，得到数列 $\{a_n\}$.

(1) 证明：当正整数 $n\ge 2$ 时，$a_n=\ln a_{n-1}-1$； (2) 当正整数 $n\ge 2$ 时，试比较 $a_n$ 与 $a_{n-1}-2$ 的大小； (3) 若正整数 $k\ge 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_k$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值；若不存在，试说明理由.

将函数 $y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2$（$x \in [0, 6]$）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\theta$（$0 \leqslant \theta \leqslant \alpha$），得到曲线 $C$. 若对于每一个旋转角 $\theta$，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为______.

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1$，设过点 $A(-3\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{e} = (1, k)$.

(1) 当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离； (2) 证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.