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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left( p,0 \right). 过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3|MF|=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln⁡(1+x)−2xf(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x.
(1) 若 a=0a=0，证明：当 −1<x<0-1<x<0 时，f(x)<0f(x)<0；当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0； (2) 若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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