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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))\left( 1,f(1) \right) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)≥1f(x)\ge 1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，焦距为 2.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 如图，该直线 l:y=k1x−32l:y=k_1x-\dfrac{\sqrt3}{2} 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，CC 是椭圆 EE 上的一点，直线 OCOC 的斜率为 k2k_2，且 k1k2=24k_1k_2=\dfrac{\sqrt2}{4}，MM 是线段 OCOC 延长线上一点，且 ∣MC∣:∣AB∣=2:3\lvert MC\rvert:\lvert AB\rvert=2:3，⊙M\odot M 的半径为 ∣MC∣\lvert MC\rvert，OSOS，OTOT 是 ⊙M\odot M 的两条切线，切点分别为 SS，TT，求 ∠SOT\angle SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 ll 的斜率.

2017 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=a(x−ln⁡x)+2x−1x2f(x)=a\left(x-\ln x\right)+\dfrac{2x-1}{x^2}，a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 a=1a=1 时，证明 f(x)>f′(x)+32f(x)>f'(x)+\dfrac32 对于任意的 x∈[1,2]x\in[1,2] 成立.

2016 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(x+1)+a(x2−x)f(x) = \ln(x + 1) + a(x^2 - x)，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 极值点的个数，并说明理由； (2) 若 ∀x>0\forall x > 0，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 成立，求 aa 的取值范围.

2015 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡xf(x) = (x + a)\ln x，g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. 已知曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 2x−y=02x - y = 0 平行.
(1) 求 aa 的值； (2) 是否存在自然数 kk，使得方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 在 (k,k+1)(k, k + 1) 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 kk；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 m(x)=min⁡{f(x),g(x)}m(x) = \min \{f(x), g(x)\}（min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值），求 m(x)m(x) 的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别是 F1F_{1}，F2F_{2}，离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，过 F1F_{1} 且垂直于 xx 轴的直线被椭圆 CC 截得的线段长为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 点 PP 是椭圆 CC 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1PF_{1}，PF2PF_{2}. 设 ∠F1PF2\angle F_{1}PF_{2} 的角平分线 PMPM 交 CC 的长轴于点 M(m,0)M(m,0)，求 mm 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，过点 PP 作斜率为 kk 的直线 ll，使得 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点. 设直线 PF1PF_{1}，PF2PF_{2} 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，若 k≠0k \neq 0，试证明 1kk1+1kk2\frac{1}{kk_{1}} + \frac{1}{kk_{2}} 为定值，并求出这个定值.

2013 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax2+bx−ln⁡xf(x) = ax^2 + bx - \ln x（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 设 a⩾0a \geqslant 0，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 a>0a > 0，且对任意 x>0x > 0，f(x)⩾f(1)f(x) \geqslant f(1)，试比较 ln⁡a\ln a 与 −2b-2b 的大小.

2013 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，FF 是抛物线 C:x2=2pyC: x^2 = 2py （p>0p > 0） 的焦点，MM 是抛物线 CC 上位于第一象限内的任意一点，过 MM，FF，OO 三点的圆的圆心为 QQ，点 QQ 到抛物线 CC 的准线的距离为 34\frac{3}{4}.
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 是否存在点 MM，使得直线 MQMQ 与抛物线 CC 相切于点 MM？ 若存在，求出点 MM 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 若点 MM 的横坐标为 2\sqrt{2}，直线 l:y=kx+14l: y = kx + \frac{1}{4} 与抛物线 CC 有两个不同的交点 AA，BB，ll 与圆 QQ 有两个不同的交点 DD，EE，求当 12⩽k⩽2\frac{1}{2} \leqslant k \leqslant 2 时，∣AB∣2+∣DE∣2|AB|^2 + |DE|^2 的最小值.

2012 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x+kexf(x) = \frac{\ln x + k}{\mathrm{e}^x}（kk 为常数，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数），曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与 xx 轴平行.
(1) 求 kk 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 设 g(x)=(x2+x)f′(x)g(x) = (x^2 + x)f'(x)，其中 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数. 证明：对任意 x>0x > 0，g(x)<1+e−2g(x) < 1 + \mathrm{e}^{-2}.

2012 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x+kexf(x)=\dfrac{\ln x+k}{\mathrm{e}^x}（kk 为常数，e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 是自然对数的底数），曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线与 xx 轴平行.
(1) 求 kk 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 设 g(x)=xf′(x)g(x)=xf'(x)，其中 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数. 证明：对任意 x>0x>0，g(x)<1+e−2g(x)<1+\mathrm{e}^{-2}.

2012 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x−ax+1−ax−1f(x) = \ln x - ax + \frac{1 - a}{x} - 1 （a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a⩽12a \leqslant \frac{1}{2} 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 g(x)=x2−2bx+4g(x) = x^{2} - 2bx + 4，当 a=14a = \frac{1}{4} 时，若对任意 x1∈(0,2)x_1 \in (0, 2)，存在 x2∈[1,2]x_2 \in [1, 2]，使 f(x1)⩾g(x2)f(x_1) \geqslant g(x_2)，求实数 bb 的取值范围.

2010 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知曲线 C1:∣x∣a+∣y∣b=1C_1: \frac{|x|}{a} + \frac{|y|}{b} = 1（a>b>0a > b > 0）所围成的封闭图形的面积为 454\sqrt{5}，曲线 C1C_1 的内切圆半径为 253\frac{2\sqrt{5}}{3}. 记 C2C_2 为以曲线 C1C_1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(1) 求椭圆 C2C_{2} 的标准方程； (2) 设 ABAB 是过椭圆 C2C_{2} 中心的任意弦，ll 是线段 ABAB 的垂直平分线. MM 是 ll 上异于椭圆中心的点.
(i) 若 ∣MO∣=λ∣OA∣|MO| = \lambda |OA|（OO 为坐标原点），当点 AA 在椭圆 C2C_2 上运动时，求点 MM 的轨迹方程； (ii) 若 MM 是 ll 与椭圆 C2C_2 的交点，求 △AMB\triangle AMB 的面积的最小值.

2008 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2+bln⁡(x+1)f(x) = x^{2} + b \ln (x + 1)，其中 b≠0b \neq 0.
(1) 当 b>12b > \frac{1}{2} 时，判断函数 f(x)f(x) 在定义域上的单调性； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值点； (3) 证明对任意的正整数 nn，不等式 ln⁡(1n+1)>1n2−1n3\ln \left(\frac{1}{n} + 1\right) > \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} 都成立.

2007 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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