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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知过原点的动直线 ll 与圆 C1:x2+y2−6x+5=0C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求圆 C1C_1 的圆心坐标； (2) 求线段 ABAB 的中点 MM 的轨迹 CC 的方程； (3) 是否存在实数 kk，使得直线 L:y=k(x−4)L: y = k(x - 4) 与曲线 CC 只有一个交点？若存在，求出 kk 的取值范围；若不存在，说明理由.

2015 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 aa 为实数，函数 f(x)=(x−a)2+∣x−a∣−a(a−1)f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1).
(1) 若 f(0)⩽1f(0) \leqslant 1，求 aa 的取值范围； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (3) 当 a⩾2a \geqslant 2 时，讨论 f(x)+4xf(x) + \frac{4}{x} 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内的零点个数.

2015 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)−3f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 2x + k)^2 + 2(x^2 + 2x + k) - 3}}，其中 k<−2k < -2.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域 DD（用区间表示）； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 DD 上的单调性； (3) 若 k<−6k < -6，求 DD 上满足条件 f(x)>f(1)f(x) > f(1) 的 xx 的集合（用区间表示）.

2014 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−1)ex−kx2f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^{x} - kx^{2} （k∈Rk \in \mathbf{R}）.
(1) 当 k=1k = 1 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间. (2) 当 k∈(12,1]k \in \left(\frac{1}{2}, 1\right] 时，求函数 f(x)f(x) 在 [0,k][0, k] 上的最大值 MM.

2013 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知曲线 Cn:y=nx2C_n: y = nx^2，点 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n)（xn>0x_n > 0，yn>0y_n > 0）是曲线 CnC_n 上的点（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 试写出曲线 CnC_n 在点 PnP_n 处的切线 lnl_n 的方程，并求出 lnl_n 与 yy 轴的交点 QnQ_n 的坐标； (2) 若原点 O(0,0)O(0, 0) 到 lnl_n 的距离与线段 PnQnP_nQ_n 的长度之比取得最大值，试求点 PnP_n 的坐标 (xn,yn)(x_n, y_n)； (3) 设 mm 与 kk 为两个给定的不同的正整数，xnx_n 与 yny_n 是满足前一问条件的点 PnP_n 的坐标，证明：∑n=1s∣(m+1)xn2−(k+1)yn∣<∣ms−ks∣\sum_{n=1}^{s} \left| \sqrt{\frac{(m + 1)x_n}{2}} - \sqrt{(k + 1)y_n} \right| < \left| \sqrt{ms} - \sqrt{ks} \right|（s=1s = 1，22，⋯\cdots）.

2010 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0, 2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知曲线 Cn:x2−2nx+y2=0C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 从点 P(−1,0)P(-1,0) 向曲线 CnC_n 引斜率为 knk_n（kn>0k_n > 0）的切线 lnl_n，切点为 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n).
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 与 {yn}\{y_n\} 的通项公式； (2) 证明：x1⋅x3⋅x5⋅⋯⋅x2n−1<1−xn1+xn<2sin⁡xnynx_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1 - x_n}{1 + x_n}} < \sqrt2\sin \frac{x_n}{y_n}.

2009 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−ln⁡(x+m)f(x) = x - \ln (x + m)，其中常数 mm 为整数.
(1) 当 mm 为何值时，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0； (2) 定理：若函数 g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，且 g(a)g(a) 与 g(b)g(b) 异号，则至少存在一点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，使 g(x0)=0g(x_0) = 0. 试用上述定理证明：当整数 m>1m > 1 时，方程 f(x)=0f(x) = 0 在 [e−m−m,e2m−m][\mathrm{e}^{-m} - m, \mathrm{e}^{2m} - m] 内有两个实根.

2004 · 广东 · 第 21 题 · 解答题

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