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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
记 f′(x)f'(x)，g′(x)g'(x) 分别为函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的导函数. 若存在 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，满足 f(x0)=g(x0)f(x_0)=g(x_0) 且 f′(x0)=g′(x0)f'(x_0)=g'(x_0)，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的一个“SS 点”.
(1) 证明：函数 f(x)=xf(x)=x 与 g(x)=x2+2x−2g(x)=x^2+2x-2 不存在“SS 点”； (2) 若函数 f(x)=ax2−1f(x)=ax^2-1 与 g(x)=ln⁡xg(x)=\ln x 存在“SS 点”，求实数 aa 的值； (3) 已知函数 f(x)=−x2+af(x)=-x^2+a，g(x)=bexxg(x)=\dfrac{b\mathrm{e}^x}{x}. 对任意 a>0a>0，判断是否存在 b>0b>0，使函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 内存在“SS 点”，并说明理由.

2018 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1（a>0a>0，b∈Rb\in\mathbf{R}）有极值，且导函数 f′(x)f'(x) 的极值点是 f(x)f(x) 的零点. （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
(1) 求 bb 关于 aa 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b2>3ab^2>3a； (3) 若 f(x)f(x)，f′(x)f'(x) 这两个函数的所有极值之和不小于 −72-\dfrac72，求 aa 的取值范围.

2017 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bf(x) = x^3 + ax^2 + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 试讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 b=c−ab = c - a（实数 cc 是与 aa 无关的常数）. 当函数 f(x)f(x) 有三个不同的零点时，aa 的取值范围恰好是 (−∞,−3)∪(1,32)∪(32,+∞)(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)，求 cc 的值.

2015 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 是各项为正数且公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列.
(1) 证明：2a12^{a_1}，2a22^{a_2}，2a32^{a_3}，2a42^{a_4} 依次构成等比数列； (2) 是否存在 a1a_1，dd，使得 a1a_1，a22a_2^{2}，a33a_3^{3}，a44a_4^{4} 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在 a1a_1，dd 及正整数 nn，kk，使得 a1na_1^{n}，a2n+ka_2^{n+k}，a3n+2ka_3^{n+2k}，a4n+3ka_4^{n+3k} 依次构成等比数列？并说明理由.

2015 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数； (2) 若关于 xx 的不等式 mf(x)⩽e−x+m−1m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上恒成立，求实数 mm 的取值范围； (3) 已知正数 aa 满足：存在 x0∈[1,+∞)x_0 \in [1, +\infty)，使得 f(x0)<a(−x03+3x0)f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0) 成立. 试比较 ea−1\mathrm{e}^{a - 1} 与 ae−1a^{\mathrm{e} - 1} 的大小，并证明你的结论.

2014 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−axf(x)=\ln x-ax，g(x)=ex−axg(x)=\mathrm{e}^x-ax，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上是单调减函数，且 g(x)g(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上有最小值，求 aa 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 上是单调增函数，试求 f(x)f(x) 的零点个数，并证明你的结论.

2013 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★★
若函数 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_{0} 处取得极大值或极小值，则称 x0x_{0} 为函数 y=f(x)y=f(x) 的极值点. 已知 aa，bb 是实数，且 11 和 −1-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 的两个极值点.
(1) 求 aa 和 bb 的值； (2) 设函数 g(x)g(x) 的导函数 g′(x)=f(x)+2g'(x)=f(x)+2，求 g(x)g(x) 的极值点； (3) 设 h(x)=f(f(x))−ch(x)=f(f(x))-c，其中 c∈[−2,2]c\in[-2,2]，求函数 y=h(x)y=h(x) 的零点个数.

2012 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知 aa，bb 是实数，函数 f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax，g(x)=x2+bxg(x)=x^2+bx，f′(x)f'(x) 和 g′(x)g'(x) 分别是 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的导函数，若 f′(x)g′(x)⩾0f'(x)g'(x)\geqslant 0 在区间 II 上恒成立，则称 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 II 上单调性一致.
(1) 设 a>0a>0，若函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 [−1,+∞)[-1,+\infty) 上单调性一致，求实数 bb 的取值范围； (2) 设 a<0a<0 且 a≠ba\neq b，若 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在以 aa，bb 为端点的开区间上单调性一致，求 ∣a−b∣|a-b| 的最大值.

2011 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 上的函数，其导函数为 f′(x)f'(x). 如果存在实数 aa 和函数 h(x)h(x)，其中 h(x)h(x) 对任意的 x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 都有 h(x)>0h(x)>0，使得 f′(x)=h(x)(x2−ax+1)f'(x)=h(x)\left(x^2-ax+1\right)，则称函数 f(x)f(x) 具有性质 P(a)P(a).
(1) 设函数 f(x)=ln⁡x+b+2x+1f(x)=\ln x+\frac{b+2}{x+1}（x>1x>1），其中 bb 为实数.
(i) 求证：函数 f(x)f(x) 具有性质 P(b)P(b)； (ii) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间. (2) 已知函数 g(x)g(x) 具有性质 P(2)P(2)，给定 x1x_1，x2∈(1,+∞)x_2\in(1,+\infty)，x1<x2x_1<x_2，设 mm 为实数，α=mx1+(1−m)x2\alpha=mx_1+(1-m)x_2，β=(1−m)x1+mx2\beta=(1-m)x_1+mx_2，且 α>1\alpha>1，β>1\beta>1，若 ∣g(α)−g(β)∣<∣g(x1)−g(x2)∣|g(\alpha)-g(\beta)|<|g(x_1)-g(x_2)|，求 mm 的取值范围.

2010 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设 aa 为实数，设函数 f(x)=a1−x2+1+x+1−xf(x) = a\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} 的最大值为 g(a)g(a).
(1) 设 t=1+x+1−xt = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}，求 tt 的取值范围，并把 f(x)f(x) 表示为 tt 的函数 m(t)m(t)； (2) 求 g(a)g(a)； (3) 试求满足 g(a)=g(1a)g(a) = g\left(\frac{1}{a}\right) 的所有实数 aa.

2006 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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