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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 是否存在 aa，bb，使得曲线 y=f(1x)y=f\left( \frac1x \right) 关于直线 x=bx=b 对称，若存在，求 aa，bb 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 存在极值，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★★★
已知 x=x1x=x_1 和 x=x2x=x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x)=2a^x-\mathrm{e} x^2（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1<x_2，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=a(1−2∣x−12∣)f(x) = a\left(1 - 2\left|x - \frac{1}{2}\right|\right)，aa 为常数且 a>0a > 0.
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=12x = \frac{1}{2} 对称； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，且 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 的二阶周期点. 如果 f(x)f(x) 有两个二阶周期点 x1x_1，x2x_2，试确定 aa 的取值范围； (3) 对于第 2 问中的 x1x_1，x2x_2 和 aa，设 x3x_3 为函数 f(f(x))f(f(x)) 的最大值点，A(x1,f(f(x1)))A(x_1, f(f(x_1)))，B(x2,f(f(x2)))B(x_2, f(f(x_2)))，C(x3,0)C(x_3, 0)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，讨论 S(a)S(a) 的单调性.

2013 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数
f(x)={1ax,0⩽x⩽a,11−a(1−x),a<x⩽1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a} x, & 0 \leqslant x \leqslant a,\\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), & a < x \leqslant 1, \end{cases}
aa 为常数且 a∈(0,1)a \in (0,1).
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2} 时，求 f(f(13))f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，但 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为 f(x)f(x) 的二阶周期点，证明：函数 f(x)f(x) 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 x1x_1，x2x_2； (3) 对于（2）中的 x1x_{1}，x2x_{2}，设 A(x1,f(f(x1)))A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)，B(x2,f(f(x2)))B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)，C(a2,0)C\left(a^{2}, 0\right)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，求 S(a)S(a) 在区间 [13,12]\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)exf(x) = (ax^2 + bx + c)\mathrm{e}^x 在 [0,1][0,1] 上单调递减且满足 f(0)=1f(0) = 1，f(1)=0f(1) = 0.
(1) 求 aa 的取值范围； (2) 设 g(x)=f(x)−f′(x)g(x) = f(x) - f'(x)，求 g(x)g(x) 在 [0,1][0,1] 上的最大值和最小值.

2012 · 江西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=11+x+11+a+axax+8f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). 当 a=8a = 8 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意正数 aa，证明：1<f(x)<21 < f(x) < 2.

2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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