数迹
题目列表试卷列表
共找到 19 题
排序：
组题
本页 19 题去组卷
1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，bn=n(1+1n)nanb_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n（n∈N+n\in\mathbf{N}_+），e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=1+x−exf(x)=1+x-\mathrm{e}^x 的单调区间，并比较 (1+1n)n\left(1+\dfrac1n\right)^n 与 e\mathrm{e} 的大小； (2) 计算 b1a1\dfrac{b_1}{a_1}，b1b2a1a2\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}，b1b2b3a1a2a3\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}，由此推测计算 b1b2⋯bna1a2⋯an\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n} 的公式，并给出证明； (3) 令 cn=(a1a2⋯an)1nc_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}，数列 {an}\{a_n\}，{cn}\{c_n\} 的前 nn 项和分别记为 SnS_n，TnT_n，证明：Tn<eSnT_n<\mathrm{e} S_n.

2015 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★★
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

2014 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★★
设 nn 为正整数，rr 为正有理数.
(1) 求函数 f(x)=(1+x)r+1−(r+1)x−1f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1（x>−1x > -1）的最小值； (2) 证明： nr+1−(n−1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1−nr+1r+1\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}； (3) 设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记 [x][x] 为不小于 xx 的最小整数，例如 [2]=2[2] = 2，[π]=4[\pi] = 4，[3−2]=−1\left[\frac{3}{-2}\right] = -1. 令 S=813+823+833+⋯+1253S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}，求 [S][S] 的值.（参考数据： 8043≈344.780^{\frac{4}{3}} \approx 344.7，8143≈350.581^{\frac{4}{3}} \approx 350.5，12443≈618.3124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3，12643≈631.7126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7）

2013 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=rx−xr+(1−r)f(x) = rx - x^{r} + (1 - r) （x>0x > 0），其中 rr 为有理数，且 0<r<10 < r < 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 a1⩾0a_{1} \geqslant 0，a2⩾0a_{2} \geqslant 0，b1b_{1}，b2b_{2} 为正有理数. 若 b1+b2=1b_{1} + b_{2} = 1，则 a1b1a2b2⩽a1b1+a2b2a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 α\alpha 为正有理数时，有求导公式 (xα)′=αxα−1(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1f(x)=\ln x-x+1，x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)，求函数 f(x)f(x) 的最大值. (2) 设 aka_k，bkb_k（k=1k=1，22，…\dots，nn）均为正数，证明：
① 若 a1b1+a2b2+⋯+anbn⩽b1+b2+⋯+bna_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n\leqslant b_1+b_2+\dots+b_n，则 a1b1a2b2⋯anbn⩽1a_1^{b_1}a_2^{b_2}\cdots a_n^{b_n}\leqslant1； ② 若 b1+b2+⋯+bn=1b_1+b_2+\dots+b_n=1，则 1n⩽b1b1b2b2⋯bnbn⩽b12+b22+⋯+bn2\dfrac{1}{n}\leqslant b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}\leqslant b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2.

2011 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+af(x) = x^{3} + 2ax^{2} + bx + a，g(x)=x2−3x+2g(x) = x^{2} - 3x + 2，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数，已知曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 在点 (2,0)(2,0) 处有相同的切线 ll.
(1) 求 aa，bb 的值，并写出切线 ll 的方程； (2) 若方程 f(x)+g(x)=mxf(x) + g(x) = mx 有三个互不相同的实根 00，x1x_1，x2x_2，其中 x1<x2x_1 < x_2，且对任意的 x∈[x1,x2]x \in [x_1, x_2]，f(x)+g(x)<m(x−1)f(x) + g(x) < m (x - 1) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2011 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bx+cf(x) = ax + \frac{b}{x} + c（a>0a > 0）的图象在点(1,f(1))(1, f(1))处的切线方程为 y=x−1y = x - 1.
(1) 用 aa 表示出 bb，cc； (2) 若 f(x)⩾ln⁡xf(x) \geqslant \ln x 在 [1,+∞)[1, +\infty) 上恒成立，求 aa 的取值范围. (3) 证明： 1+12+13+⋯+1n>ln⁡(n+1)+n2(n+1)1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) + \frac{n}{2(n + 1)}（n⩾1n \geqslant 1）.

2010 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
在 R\mathbf{R} 上定义运算 ⊗\otimes： p⊗q=−13(p−c)(q−b)+4bcp \otimes q = -\frac{1}{3}(p - c)(q - b) + 4bc（pp，qq 为实常数）. 记 f1(x)=x2−2cf_1(x) = x^{2} - 2c，f2(x)=x−2bf_2(x) = x - 2b，x∈Rx \in \mathbf{R}. 令 f(x)=f1(x)⊗f2(x)f(x) = f_1(x) \otimes f_2(x).
(1) 如果函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处有极值 −43-\frac{4}{3}，试确定 bb，cc 的值； (2) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 上斜率为 cc 的切线与该曲线的公共点； (3) 记 g(x)=∣f′(x)∣g(x) = |f'(x)|（−1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1）的最大值为 MM. 若 M⩾kM \geqslant k 对任意的 bb，cc 恒成立，试求 kk 的最大值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知关于 xx 的函数 f(x)=−13x3+bx2+cx+bcf(x) = -\frac{1}{3} x^{3} + bx^{2} + cx + bc，其导函数为 f′(x)f'(x). 令 g(x)=∣f′(x)∣g(x) = |f'(x)|，记函数 g(x)g(x) 在区间 [−1,1][-1,1] 上的最大值为 MM.
(1) 如果函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处有极值 −43-\frac{4}{3}，试确定 bb，cc 的值； (2) 若 ∣b∣>1|b| > 1，证明对任意的 cc，都有 M>2M > 2； (3) 若 M⩾kM \geqslant k 对任意的 bb，cc 恒成立. 试求 kk 的最大值.

2009 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21不等式★★★★★
已知 mm，nn 为正整数.
(1) 用数学归纳法证明：当 x>−1x > -1 时，(1+x)m⩾1+mx(1 + x)^{m} \geqslant 1 + mx； (2) 对于 n⩾6n \geqslant 6，已知 (1−1n+3)n<12\left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}. 求证 (1−mn+3)n<12\left(1 - \frac{m}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}，m=1m = 1，22，⋯\cdots，nn； (3) 求满足等式 3n+4n+⋯+(n+2)n=(n+3)n3^{n} + 4^{n} + \cdots + (n + 2)^{n} = (n + 3)^{n} 的所有正整数 nn.

2007 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
设 x=3x = 3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e3−xf(x) = (x^2 + ax + b)\mathrm{e}^{3 - x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）的一个极值点.
(1) 求 aa 与 bb 的关系式（用 aa 表示 bb），并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 a>0a > 0，g(x)=(a2+254)exg(x) = \left(a^2 + \frac{25}{4}\right)\mathrm{e}^x. 若存在 ξ1\xi_1，ξ2∈[0,4]\xi_2 \in [0,4] 使得 ∣f(ξ1)−g(ξ2)∣<1\left|f(\xi_1) - g(\xi_2)\right| < 1 成立，求 aa 的取值范围.

2006 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析