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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=kxg(x) = kx（k∈Rk \in \mathbf{R}）.
(1) 证明：当 x>0x > 0 时，f(x)<xf(x) < x； (2) 证明：当 k<1k < 1 时，存在 x0>0x_0 > 0，使得对任意的 x∈(0,x0)x \in (0, x_0)，恒有 f(x)>g(x)f(x) > g(x)； (3) 确定 kk 的所有可能取值，使得存在 t>0t > 0，对任意的 x∈(0,t)x \in (0, t)，恒有 ∣f(x)−g(x)∣<x2|f(x) - g(x)| < x^2.

2015 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−exf(x) = \mathrm{e}^{x} + ax^{2} - \mathrm{e} x，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 试确定 aa 的取值范围，使得曲线 y=f(x)y = f(x) 上存在唯一的点 PP，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 PP.

2012 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x，其图象记为曲线 CC.
(i) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (ii) 证明：若对于任意非零实数 x1x_{1}，曲线 CC 与其在点 P1(x1,f(x1))P_{1}(x_{1}, f(x_{1})) 处的切线交于另一点 P2(x2,f(x2))P_{2}(x_{2}, f(x_{2}))，曲线 CC 与其在点 P2(x2,f(x2))P_{2}(x_{2}, f(x_{2})) 处的切线交于另一点 P3(x3,f(x3))P_{3}(x_{3}, f(x_{3}))，线段 P1P2P_{1}P_{2}，P2P3P_{2}P_{3} 与曲线 CC 所围成封闭图形的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，则 S1S2\frac{S_{1}}{S_{2}} 为定值； (2) 对于一般的三次函数 g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d （a≠0a \neq 0），请给出类似于（1）（ii） 的正确命题，并予以证明.

2010 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + ax^2 + bx，且 f′(−1)=0f'(-1) = 0.
(1) 试用含 aa 的代数式表示 bb，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 令 a=−1a = -1，设函数 f(x)f(x) 在 x1x_1，x2x_2（x1<x2x_1 < x_2）处取得极值，记点 M(x1,f(x1))M(x_1, f(x_1))，N(x2,f(x2))N(x_2, f(x_2))，P(m,f(m))P(m, f(m))，x1<m<x2x_1 < m < x_2. 请仔细观察曲线 f(x)f(x) 在点 PP 处的切线与线段 MPMP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
(i) 若对任意的 m∈(t,x2]m \in (t, x_2]，线段 MPMP 与曲线 f(x)f(x) 均有异于 MM，PP 的公共点，试确定 tt 的最小值，并证明你的结论； (ii) 若存在点 Q(n,f(n))Q(n, f(n))，x1⩽n<mx_1 \leqslant n < m，使得线段 PQPQ 与曲线 f(x)f(x) 有异于 PP，QQ 的公共点，请直接写出 mm 的取值范围. （不必给出求解过程）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 f′(x)=x2+2ax+bf'(x)=x^2+2ax+b，f′(−1)=1−2a+b=0f'(-1)=1-2a+b=0 得b=2a−1b=2a-1.于是
f′(x)=x2+2ax+2a−1=(x+1)(x+2a−1)=(x+1)(x−(1−2a))f'(x)=x^2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)=(x+1)(x-(1-2a))
当a>1a>1时，1−2a<−11-2a<-1，故f′(x)f'(x)在(−∞,1−2a)(-\infty,1-2a)和(−1,+∞)(-1,+\infty)上为正，在(1−2a,−1)(1-2a,-1)上为负.因此增区间为(−∞,1−2a)(-\infty,1-2a)和(−1,+∞)(-1,+\infty)，减区间为(1−2a,−1)(1-2a,-1).
当a=1a=1时，f′(x)=(x+1)2⩾0f'(x)=(x+1)^2\geqslant0，所以f(x)f(x)在R\mathbf{R}上单调递增.
当a<1a<1时，−1<1−2a-1<1-2a，故f′(x)f'(x)在(−∞,−1)(-\infty,-1)和(1−2a,+∞)(1-2a,+\infty)上为正，在(−1,1−2a)(-1,1-2a)上为负.因此增区间为(−∞,−1)(-\infty,-1)和(1−2a,+∞)(1-2a,+\infty)，减区间为(−1,1−2a)(-1,1-2a).
\item 令a=−1a=-1，则b=−3b=-3，故f(x)=13x3−x2−3xf(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x，f′(x)=(x+1)(x−3)f'(x)=(x+1)(x-3)，所以x1=−1x_1=-1，x2=3x_2=3.
对曲线上横坐标为uu，vv的两个点作割线.由于f(x)f(x)的三次项系数为13\frac{1}{3}，割线方程与曲线方程相减后所得三次方程的三个根为uu，vv，ww.该三次方程的首项为13x3\frac{1}{3}x^3，而二次项系数为−1-1，与13(x−u)(x−v)(x−w)\frac{1}{3}(x-u)(x-v)(x-w)比较可得−u+v+w3=−1-\frac{u+v+w}{3}=-1，即u+v+w=3u+v+w=3，所以第三个交点的横坐标为w=3−u−vw=3-u-v.
\begin{enumerate} \item 取u=x1=−1u=x_1=-1，v=mv=m，得w=4−mw=4-m.当m∈(t,3]m\in(t,3]时，线段MPMP与曲线有异于MM，PP的公共点，要求第三个交点的横坐标满足−1<w<m-1<w<m.代入w=4−mw=4-m得4−m<m4-m<m，即m>2m>2；当m=3m=3时仍有w=1w=1，满足条件.因此对所有m∈(2,3]m\in(2,3]均成立，而任意t<2t<2都会使m=2m=2落入(t,3](t,3]，此时w=mw=m并无异于PP的第三个交点.故tt的最小值为22.
\item 取u=nu=n，v=mv=m，第三个交点横坐标为w=3−m−nw=3-m-n.它位于线段PQPQ内部当且仅当
n<3−m−n<m⟺3−2m<n<3−m2n<3-m-n<m \quad\Longleftrightarrow\quad 3-2m<n<\frac{3-m}{2}
还需满足−1⩽n<m-1\leqslant n<m.当m⩽1m\leqslant1时，3−2m⩾m3-2m\geqslant m，不存在这样的nn；当1<m<31<m<3时，上述不等式区间与[−1,m)[-1,m)有公共部分，可以选取这样的nn.所以mm的取值范围为(1,3)(1,3). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−xf(x) = \ln (1 + x) - x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 记 f(x)f(x) 在区间 [0,n][0,n]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）上的最小值为 bnb_n，令 an=ln⁡(1+n)−bna_n = \ln(1 + n) - b_n.
(i) 如果对一切 nn，不等式 an<an+2−can+2\sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}} 恒成立，求实数 cc 的取值范围； (ii) 求证： a1a2+a1a3a2a4+⋯+a1a3⋯a2n−1a2a4⋯a2n<2an+1−1\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \dots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n + 1} -1.

2008 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点为 F(1,0)F(1,0)，且过点 (2,0)(2,0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若 ABAB 为垂直于 xx 轴的动弦，直线 l:x=4l: x = 4 与 xx 轴交于点 NN，直线 AFAF 与 BNBN 交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 恒在椭圆 CC 上； (ii) 求 △AMN\triangle AMN 面积的最大值.

2008 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−kxf(x) = \mathrm{e}^{x} - kx，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 若 k=ek = \mathrm{e}，试确定函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 k>0k > 0，且对于任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f(∣x∣)>0f(|x|) > 0 恒成立，试确定实数 kk 的取值范围； (3) 设函数 F(x)=f(x)+f(−x)F(x) = f(x) + f(-x)，求证：F(1)F(2)⋯F(n)>(en+1+2)n2F(1)F(2)\cdots F(n) > (\mathrm{e}^{n+1} + 2)^{\frac{n}{2}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2007 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x，g(x)=6ln⁡x+mg(x) = 6\ln x + m.
(1) 求 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1]\left[t, t + 1\right] 上的最大值 h(t)h(t)； (2) 是否存在实数 mm，使得 y=f(x)y = f(x) 的图象与 y=g(x)y = g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 mm 的取值范围；若不存在，说明理由.

2006 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=4x+ax2−23x3f(x) = 4x + ax^2 - \frac{2}{3}x^3（x∈Rx \in \mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=2x+13x3f(x) = 2x + \frac{1}{3}x^3 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2 + tm + 1 \geqslant |x_1 - x_2| 对任意 a∈Aa \in A 及 t∈[−1,1]t \in [-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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