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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xeax−exf(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，f(x)<−1f(x)<-1，求 aa 的取值范围； (3) 设 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，证明：112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln⁡(n+1)\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln(n+1).

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分概率与统计★★★★★
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 00 代，经过一次繁殖后为第 11 代，再经过一次繁殖后为第 22 代，依此类推. 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 XX 表示 11 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi>0P(X=i)=p_i>0，其中 i=0i=0，11，22，33.
(1) 已知 p0=0.4p_0=0.4，p1=0.3p_1=0.3，p2=0.2p_2=0.2，p3=0.1p_3=0.1，求 E(X)E(X)； (2) 设 pp 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，pp 是关于 xx 的方程 p0+p1x+p2x2+p3x3=xp_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x 的一个最小正实根，求证：当 E(X)≤1E(X)\le1 时，p=1p=1，当 E(X)>1E(X)>1 时，p<1p<1； (3) 根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(x−1)ex−ax2+bf(x)=(x-1)\mathrm{e}^x-ax^2+b.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：f(x)f(x) 有一个零点.
① 12<a≤e22\dfrac12<a\le\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}，b>2ab>2a； ② 0<a<120<a<\dfrac12，b≤2ab\le2a.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，动点 M(x,y)M(x,y) 满足直线 AMAM 与 BMBM 的斜率之积为 −12-\dfrac12. 记 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程，并说明 CC 是什么曲线； (2) 过坐标原点的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，点 PP 在第一象限，PE⊥xPE\perp x 轴，垂足为 EE，连接 QEQE 并延长交 CC 于点 GG.
(i) 证明：△PQG\triangle PQG 是直角三角形； (ii) 求 △PQG\triangle PQG 面积的最大值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2f(x)=\mathrm{e}^x-ax^2.
(1) 若 a=1a=1，证明：当 x≥0x\ge0 时，f(x)≥1f(x)\ge1； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 只有一个零点，求 aa.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(cos⁡x−x)(π+2x)−83(sin⁡x+1)f(x) = (\cos x - x)(\pi + 2x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)，g(x)=3(x−π)cos⁡x−4(1+sin⁡x)ln⁡(3−2xπ)g(x) = 3(x - \pi)\cos x - 4(1 + \sin x)\ln \left(3 - \frac{2x}{\pi}\right).
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_{1} \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_{1}) = 0，且对（1）中的 x0x_{0}，有 x0+x1<πx_{0} + x_{1} < \pi.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=π(x−cos⁡x)−2sin⁡x−2f(x) = \pi (x - \cos x) - 2\sin x - 2，g(x)=(x−π)1−sin⁡x1+sin⁡x+2xπ−1g(x) = (x - \pi)\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} + \frac{2x}{\pi} - 1.
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_1 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_1) = 0，且对上一问中的 x0x_0，有 x0+x1>πx_0 + x_1 > \pi.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1+x)e−2xf(x) = (1 + x)\mathrm{e}^{-2x}，g(x)=ax+x32+1+2xcos⁡xg(x) = ax + \frac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x，当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，
(1) 求证：1−x⩽f(x)⩽11+x1 - x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1 + x}； (2) 若 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 恒成立，求实数 aa 的取值范围.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 f(x)=ln⁡(x+1)+x+1+ax+bf(x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x + 1} + ax + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数），曲线 y=f(x)y = f(x) 与直线 y=32xy = \frac{3}{2} x 在 (0,0)(0,0) 点相切.
(1) 求 aa，bb 的值. (2) 证明：当 0<x<20 < x < 2 时，f(x)<9xx+6f(x) < \frac{9x}{x + 6}.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 f(x)=ln⁡x+x−1f(x) = \ln x + \sqrt{x} - 1，证明：
(1) 当 x>1x > 1 时，f(x)<32(x−1)f(x) < \frac{3}{2}(x - 1)； (2) 当 1<x<31 < x < 3 时，f(x)<9(x−1)x+5f(x) < \frac{9(x - 1)}{x + 5}.

2012 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x−ax2+(2−a)xf(x) = \ln x - ax^2 + (2 - a)x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a>0a > 0，证明：当 0<x<1a0 < x < \frac{1}{a} 时，f(1a+x)>f(1a−x)f\left(\frac{1}{a} + x\right) > f\left(\frac{1}{a} - x\right)； (3) 若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 xx 轴交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 中点的横坐标为 x0x_0，证明：f′(x0)<0f'(x_0) < 0.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(a+1)ln⁡x+ax2+1f(x) = (a + 1)\ln x + ax^2 + 1.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a<−1a < -1，如果对任意 x1x_{1}，x2∈(0,+∞)x_{2} \in (0, +\infty)，∣f(x1)−f(x2)∣⩾4∣x1−x2∣|f(x_{1}) - f(x_{2})| \geqslant 4|x_{1} - x_{2}|，求 aa 的取值范围.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=e2x−2t(ex+x)+x2+2t2+1f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2t(\mathrm{e}^{x} + x) + x^{2} + 2t^{2} + 1，g(x)=12f′(x)g(x) = \frac{1}{2} f'(x).
(1) 证明：当 t<22t < 2\sqrt{2} 时，g(x)g(x) 在 R\mathbf{R} 上是增函数. (2) 对于给定的闭区间 [a,b][a, b]，试说明存在实数 kk，当 t>kt > k 时，g(x)g(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上是减函数. (3) 证明：f(x)⩾32f(x) \geqslant \frac{3}{2}.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
已知函数 f(x)=x2−9x2cos⁡α+48xcos⁡β+18sin⁡2αf(x)=x^2-9x^2\cos\alpha+48x\cos\beta+18\sin^2\alpha，g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，且对任意的实数 tt 均有 g(1+cos⁡t)⩾0g(1+\cos t)\geqslant0，g(3+sin⁡t)⩽0g(3+\sin t)\leqslant0.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 若对任意的 m∈[−26,6]m\in[-26,6]，恒有 f(x)⩾x2−mx−11f(x)\geqslant x^2-mx-11，求 xx 的取值范围.

2007 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13ax3+bx2+cx+df(x) = \frac{1}{3} ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 aa，bb，cc 是以 dd 为公差的等差数列，且 a>0a > 0，d>0d > 0. 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极小值点. 在 [1−2ba,0]\left[1 - \frac{2b}{a}, 0\right] 上，f′(x)f'(x) 在 x1x_1 处取得最大值，在 x2x_2 处取得最小值. 将 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))，(x1,f′(x1))(x_1, f'(x_1))，(x2,f′(x2))(x_2, f'(x_2)) 依次记为 AA，BB，CC.
(1) 求 x0x_0； (2) 若 △ABC\triangle ABC 有一边平行于 xx 轴，且面积为 2+32 + \sqrt{3}，求 aa，dd 的值.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★★
已知 f0(x)=xnf_{0}(x) = x^{n}，fk(x)=fk−1′(x)fk−1(1)f_{k}(x) = \frac{f'_{k-1}(x)}{f_{k-1}(1)}，其中 k⩽nk \leqslant n（nn，k∈N+k\in\mathbf{N}_{+}）. 设 F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+⋯+Cnnfn(x2)F(x) = \mathrm C_n^0 f_0(x^{2}) + \mathrm C_n^1 f_1(x^{2}) + \cdots + \mathrm C_n^n f_n(x^{2})，x∈[−1,1]x \in [-1,1].
(1) 写出 fk(1)f_k(1)； (2) 证明：对任意的 x1x_{1}，x2∈[−1,1]x_{2}\in[-1,1]，恒有 ∣F(x1)−F(x2)∣⩽2n−1(n+2)−n−1|F(x_{1}) - F(x_{2})| \leqslant 2^{n-1}(n+2) - n - 1.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内可导，导函数 f′(x)f'(x) 是减函数，且 f′(x)>0f'(x) > 0. 设 x0∈(0,+∞)x_0 \in (0, +\infty)，y=kx+my = kx + m 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 处的切线方程，并设函数 g(x)=kx+mg(x) = kx + m.
(1) 用 x0x_0，f(x0)f(x_0)，f′(x0)f'(x_0) 表示 mm； (2) 证明：当 x0∈(0,+∞)x_0 \in (0, +\infty)，g(x)⩾f(x)g(x) \geqslant f(x)； (3) 若关于 xx 的不等式 x2+1⩾ax+b⩾32x23x^{2} + 1 \geqslant ax + b \geqslant \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上恒成立. 其中 aa，bb 为实数，求 bb 的取值范围及 aa 与 bb 所满足的关系.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 切线斜率为 k=f′(x0)k=f'(x_0)，又切线经过 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))，所以 f(x0)=kx0+m=f′(x0)x0+mf(x_0)=kx_0+m=f'(x_0)x_0+m， 从而 m=f(x0)−x0f′(x0)m=f(x_0)-x_0f'(x_0).
\item 当 x>x0x>x_0 时，由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(x0,x)\xi\in(x_0,x)，使得 f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0). 由于 f′f' 是减函数，f′(ξ)⩽f′(x0)f'(\xi)\leqslant f'(x_0)，故 f(x)−f(x0)⩽f′(x0)(x−x0)=g(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)\leqslant f'(x_0)(x-x_0)=g(x)-f(x_0). 于是 f(x)⩽g(x)f(x)\leqslant g(x). 当 0<x<x00<x<x_0 时，仍由中值定理存在 ξ∈(x,x0)\xi\in(x,x_0)，且 f′(ξ)⩾f′(x0)f'(\xi)\geqslant f'(x_0). 因为 x−x0<0x-x_0<0，所以 f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)⩽f′(x0)(x−x0)=g(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)\leqslant f'(x_0)(x-x_0)=g(x)-f(x_0). 因此对任意 x>0x>0，都有 g(x)⩾f(x)g(x)\geqslant f(x).
\item 要使下方不等式对所有 x⩾0x\geqslant0 成立，先注意到 aa 必须为正数；否则当 x→+∞x\to+\infty 时，ax+bax+b 不可能始终不小于 32x23\frac32x^{\frac{2}{3}}. 由 x=0x=0 处的下方不等式还知 b⩾0b\geqslant0. 对函数 h(x)=32x23h(x)=\frac32x^{\frac{2}{3}}（x>0x>0），有 h′(x)=x−13h'(x)=x^{-\frac{1}{3}}，h′′(x)=−13x−43<0h''(x)=-\frac13x^{-\frac{4}{3}}<0，所以 h′(x)h'(x) 是减函数. 斜率为 a>0a>0 的切线接触点满足 x0−13=ax_0^{-\frac{1}{3}}=a，即 x0=a−3x_0=a^{-3}，该切线的截距为
h(x0)−ax0=32a−2−a⋅a−3=12a2h(x_0)-ax_0=\frac32a^{-2}-a\cdot a^{-3}=\frac1{2a^2}
由第（2）问，切线在曲线 y=h(x)y=h(x) 的上方；反过来，函数 h(x)−axh(x)-ax 在 x>0x>0 上的导数为 x−13−ax^{-\frac{1}{3}}-a，先正后负，故其最大值也在 x=a−3x=a^{-3} 处取得；并且在 x=0x=0 处该函数值为 00. 所以 ax+b⩾32x23ax+b\geqslant\frac32x^{\frac{2}{3}}（x⩾0x\geqslant0）当且仅当 b⩾12a2b\geqslant\frac1{2a^2}.
上方不等式等价于 x2−ax+1−b⩾0x^2-ax+1-b\geqslant0（x⩾0x\geqslant0）. 由 x=0x=0 处的上方不等式得 b⩽1b\leqslant1. 因为 a>0a>0，左侧二次函数在非负半轴上的最小值出现在 x=a2x=\frac a2，所以这又等价于 1−b−a24⩾01-b-\frac{a^2}{4}\geqslant0，即 a⩽21−ba\leqslant2\sqrt{1-b}. 综合两侧条件，得到 12b⩽a⩽21−b\frac1{\sqrt{2b}}\leqslant a\leqslant2\sqrt{1-b}. 要使这个区间非空，必须且只需 12b⩽21−b⟺8b(1−b)⩾1\frac1{\sqrt{2b}}\leqslant2\sqrt{1-b}\Longleftrightarrow 8b(1-b)\geqslant1， 即 2−24⩽b⩽2+24\frac{2-\sqrt2}{4}\leqslant b\leqslant\frac{2+\sqrt2}{4}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 22 题 · 解答题

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