已知函数 $f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3$. (1) 若 $b=0$, 且 $f'(x) \ge 0$, 求 $a$ 的最小值; (2) 证明: 曲线 $y = f(x)$ 是中心对称图形; (3) 若 $f(x) > -2$ 当且仅当 $1 < x < 2$, 求 $b$ 的取值范围.

已知函数 $f(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x$. (1) 若 $a = -2$, 求 $f(x)$ 的极值; (2) 当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围.