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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=23x+12f(x) = \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}，h(x)=xh(x) = \sqrt{x}.
(1) 设函数 F(x)=18f(x)−x2[h(x)]2F(x) = 18f(x) - x^2[h(x)]^2，求 F(x)F(x) 的单调区间与极值； (2) 设 a∈Ra \in \mathbf{R}，解关于 xx 的方程 lg⁡[32f(x−1)−34]=2lg⁡h(a−x)−2lg⁡h(4−x)\lg \left[ \frac{3}{2}f(x - 1) - \frac{3}{4} \right] = 2\lg h(a - x) - 2\lg h(4 - x)； (3) 设 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，证明：f(n)h(n)−[h(1)+h(2)+⋯+h(n)]⩾16f(n)h(n) - [h(1) + h(2) + \cdots + h(n)] \geqslant \frac{1}{6}.

2011 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}（a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 设关于 xx 的方程 log⁡at(x2−1)(7−x)=g(x)\log_{a} \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} = g(x) 在区间 [2,6][2,6] 上有实数解，求 tt 的取值范围. (2) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，证明：∑k=2ng(k)>2−n−n22n(n+1)\sum_{k=2}^{n} g(k) > \frac{2 - n - n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 ∣∑k=1nf(k)−n∣\left| \sum_{k=1}^{n} f(k) - n \right| 与 44 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} （a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 求 g(x)g(x). (2) 当 x∈[2,6]x \in [2,6] 时，恒有 g(x)>log⁡at(x2−1)(7−x)g(x) > \log_a \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} 成立，求 tt 的取值范围； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 f(1)+f(2)+⋯+f(n)f(1) + f(2) + \cdots + f(n) 与 n+4n + 4 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★★★
已知 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1，函数 f(x)=log⁡a(1−ax)f(x) = \log_a(1 - a^x).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域，并判断 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求 lim⁡n→+∞af(n)an+a\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a^{f(n)}}{a^n + a}； (3) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，设 h(x)=(1−ef(x))(x2−m+1)h(x) = (1 - \mathrm{e}^{f(x)})(x^2 - m + 1). 若函数 h(x)h(x) 的极值存在，求实数 mm 的取值范围以及函数 h(x)h(x) 的极值.

2009 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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