已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$. 对任意 $x_0\in\mathbf{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$.

(1) 若当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$； (2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\le f(x_2)$，且 $x_1x_2\ne 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$； (3) 设 $f(x)$ 满足：① 若 $f(x_1)\le f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；② 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$.

(i) 证明：$f(0)\ge 1$； (ii) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增．

已知函数 $f(x)=a^x+b^x$（$a>0$，$b>0$，$a\ne1$，$b\ne1$）.

(1) 设 $a=2$，$b=\dfrac12$.

(i) 求方程 $f(x)=2$ 的根； (ii) 若对于任意 $x\in\mathbf{R}$，不等式 $f(2x)\ge mf(x)-6$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值； (2) 若 $0<a<1$，$b>1$，函数 $g(x)=f(x)-2$ 有且只有 $1$ 个零点，求 $ab$ 的值.

已知函数 $f_1(x) = 3^{|x-p_1|}$，$f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}$（$x \in \mathbf{R}$，$p_1$，$p_2$ 为常数）. 函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x$，.

(1) 求 $f(x) = f_1(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_1$，$p_2$ 表示）； (2) 设 $a$，$b$ 是两个实数，满足 $a < b$，且 $p_1$，$p_2 \in (a, b)$. 若 $f(a) = f(b)$，求证：$f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$.（闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n-m$）