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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)f(x)-f(x-t)；乙变化：∣f(x+t)−f(x)∣\lvert f(x+t)-f(x)\rvert，t>0t>0.
(1) 若 t=1t=1，f(x)=2xf(x)=2^x，f(x)f(x) 经甲变化得到 g(x)g(x)，求方程 g(x)=2g(x)=2 的解； (2) 若 f(x)=x2f(x)=x^2，f(x)f(x) 经乙变化得到 h(x)h(x)，求不等式 h(x)≤f(x)h(x)\le f(x) 的解集； (3) 若 f(x)f(x) 在 (−infty,0)(-infty,0) 上单调递增，将 f(x)f(x) 先进行甲变化得到 u(x)u(x)，再将 u(x)u(x) 进行乙变化得到 h1(x)h_1(x)；将 f(x)f(x) 先进行乙变化得到 v(x)v(x)，再将 v(x)v(x) 进行甲变化得到 h2(x)h_2(x)，若对任意 t>0t>0，总存在 h1(x)=h2(x)h_1(x)=h_2(x) 成立，求证：f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上单调递增.

2022 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a>1a>1，函数 f(x)=ax−bx+e2f(x)=a^x-bx+\mathrm{e}^2（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对任意 b>2e2b>2\mathrm{e}^2，函数 f(x)f(x) 有两个不同零点，求 aa 的取值范围； (3) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，证明：对任意 b>e4b>\mathrm{e}^4，函数 f(x)f(x) 有两个不同零点 x1x_1，x2x_2，使 x2>bln⁡b2e2x1+e2bx_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm{e}^2}x_1+\frac{\mathrm{e}^2}{b}.

2021 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=axf(x)=a^x，g(x)=log⁡axg(x)=\log_a x，其中 a>1a>1.
(1) 求函数 h(x)=f(x)−xln⁡ah(x)=f(x)-x\ln a 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x1,f(x1))(x_1,f(x_1)) 处的切线与曲线 y=g(x)y=g(x) 在点 (x2,g(x2))(x_2,g(x_2)) 处的切线平行，证明 x1+g(x2)=−2ln⁡ln⁡aln⁡ax_1+g(x_2)=-\frac{2\ln\ln a}{\ln a}； (3) 证明当 a\ge \mathrm{e}^{\frac1\mathrm{e}} 时，存在直线 ll，使 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线，也是曲线 y=g(x)y=g(x) 的切线.

2018 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bxf(x)=a^x+b^x（a>0a>0，b>0b>0，a≠1a\ne1，b≠1b\ne1）.
(1) 设 a=2a=2，b=12b=\dfrac12.
(i) 求方程 f(x)=2f(x)=2 的根； (ii) 若对于任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 f(2x)≥mf(x)−6f(2x)\ge mf(x)-6 恒成立，求实数 mm 的最大值； (2) 若 0<a<10<a<1，b>1b>1，函数 g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 有且只有 11 个零点，求 abab 的值.

2016 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

2014 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=23x+12f(x) = \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}，h(x)=xh(x) = \sqrt{x}.
(1) 设函数 F(x)=18f(x)−x2[h(x)]2F(x) = 18f(x) - x^2[h(x)]^2，求 F(x)F(x) 的单调区间与极值； (2) 设 a∈Ra \in \mathbf{R}，解关于 xx 的方程 lg⁡[32f(x−1)−34]=2lg⁡h(a−x)−2lg⁡h(4−x)\lg \left[ \frac{3}{2}f(x - 1) - \frac{3}{4} \right] = 2\lg h(a - x) - 2\lg h(4 - x)； (3) 设 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，证明：f(n)h(n)−[h(1)+h(2)+⋯+h(n)]⩾16f(n)h(n) - [h(1) + h(2) + \cdots + h(n)] \geqslant \frac{1}{6}.

2011 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}（a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 设关于 xx 的方程 log⁡at(x2−1)(7−x)=g(x)\log_{a} \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} = g(x) 在区间 [2,6][2,6] 上有实数解，求 tt 的取值范围. (2) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，证明：∑k=2ng(k)>2−n−n22n(n+1)\sum_{k=2}^{n} g(k) > \frac{2 - n - n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 ∣∑k=1nf(k)−n∣\left| \sum_{k=1}^{n} f(k) - n \right| 与 44 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} （a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 求 g(x)g(x). (2) 当 x∈[2,6]x \in [2,6] 时，恒有 g(x)>log⁡at(x2−1)(7−x)g(x) > \log_a \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} 成立，求 tt 的取值范围； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 f(1)+f(2)+⋯+f(n)f(1) + f(2) + \cdots + f(n) 与 n+4n + 4 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★★★
已知 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1，函数 f(x)=log⁡a(1−ax)f(x) = \log_a(1 - a^x).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域，并判断 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求 lim⁡n→+∞af(n)an+a\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a^{f(n)}}{a^n + a}； (3) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，设 h(x)=(1−ef(x))(x2−m+1)h(x) = (1 - \mathrm{e}^{f(x)})(x^2 - m + 1). 若函数 h(x)h(x) 的极值存在，求实数 mm 的取值范围以及函数 h(x)h(x) 的极值.

2009 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
已知函数 f1(x)=3∣x−p1∣f_1(x) = 3^{|x-p_1|}，f2(x)=2⋅3∣x−p2∣f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}（x∈Rx \in \mathbf{R}，p1p_1，p2p_2 为常数）. 函数 f(x)f(x) 定义为：对每个给定的实数 xx，
f(x)={f1(x),若 f1(x)⩽f2(x),f2(x),若 f1(x)>f2(x).f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{若\ } f_1(x) \leqslant f_2(x),\\ f_2(x), & \text{若\ } f_1(x) > f_2(x). \end{cases}
.
(1) 求 f(x)=f1(x)f(x) = f_1(x) 对所有实数 xx 成立的充分必要条件（用 p1p_1，p2p_2 表示）； (2) 设 aa，bb 是两个实数，满足 a<ba < b，且 p1p_1，p2∈(a,b)p_2 \in (a, b). 若 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，求证：f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的单调增区间的长度之和为 b−a2\frac{b-a}{2}.（闭区间 [m,n][m, n] 的长度定义为 n−mn-m）

2008 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在 xOyxOy 平面上有一点列 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1},b_{1})，P2(a2,b2)P_{2}(a_{2},b_{2})，⋯\cdots，Pn(an,bn)P_{n}(a_{n},b_{n})，⋯\cdots，对每个自然数 nn，点 PnP_{n} 位于函数 y=2000⋅(a10)xy = 2000 \cdot \left(\frac{a}{10}\right)^{x}（0<a<100 < a < 10）的图象上，且点 PnP_{n}，点 (n,0)(n,0) 与点 (n+1,0)(n + 1,0) 构成一个以 PnP_{n} 为顶点的等腰三角形.
(1) 求点 PnP_{n} 的纵坐标 bnb_{n} 的表达式； (2) 若对每个自然数 nn，以 bnb_{n}，bn+1b_{n+1}，bn+2b_{n+2} 为边长能构成一个三角形，求 aa 取值范围； (3) 设 Bn=b1b2⋯bnB_{n} = b_{1}b_{2}\cdots b_{n}（n∈Nn \in \mathbf{N}），若 aa 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 {Bn}\{B_{n}\} 的最大项的项数.

2000 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成. 带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(1) 输入带钢的厚度为 α\alpha，输出带钢的厚度为 β\beta，若每对轧辊的减薄率不超过 r0r_0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊（单对轧辊减薄率 =输入该对的带钢厚度−从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度=\frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}）？ (2) 已知一台冷轧机共有 44 对减薄率为 20%20\% 的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 mm1600 \mathrm{~mm}. 若第 kk 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 LkL_k. 为了便于检修，请计算 L1L_1，L2L_2，L3L_3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

1999 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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25数列★★★★★
已知数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，b1=1b_{1} = 1，b1+b2+⋯+b10=145b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{10} = 145.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项 bnb_n； (2) 设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 an=log⁡a(1+1bn)a_n = \log_a \left(1 + \frac{1}{b_n}\right)（其中 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1），记 SnS_n 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 试比较 SnS_n 与 13log⁡abn+1\frac{1}{3}\log_a b_n + 1 的大小，并证明你的结论.

1998 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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25数列★★★★★
已知数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，b1=1b_{1} = 1，b1+b2+⋯+b10=145b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{10} = 145.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项 bnb_n； (2) 设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 an=lg⁡(1+1bn)a_n = \lg\left(1 + \frac{1}{b_n}\right)（其中 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1），记 SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 试比较 SnS_n 与 12lg⁡bn+1\frac{1}{2}\lg b_n + 1 的大小，并证明你的结论.

1998 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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26指数函数与对数函数★★★★★
f(x)=lg⁡1+2x+⋯+(n−1)x+nxanf(x)=\lg \frac{1+2^x+\cdots+(n-1)^x+n^xa}{n}，其中 aa 是实数，nn 是任意自然数且 n⩾2n\geqslant 2.
(1) 如果 f(x)f(x) 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时有意义，求 aa 的取值范围； (2) 如果 a∈(0,1]a\in(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)2f(x)<f(2x) 当 x≠0x\neq 0 时成立.

1990 · 全国 · 理 · 第 26 题 · 解答题

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34指数函数与对数函数★★★★★
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，f(x)=log⁡a(x+x2−1)f(x) = \log_a\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)（x⩾1x \geqslant 1）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)f^{-1}(x) 和这个反函数的定义域； (2) 记 bn=f−1(n)b_n = f^{-1}(n)，Sn=b1+b2+⋯+bnS_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n，求证：当 12<a<2\frac{1}{2} < a < 2 时，对任意自然数 nn，都有 Sn<2n−(22)nS_n < 2^n - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n.

1988 · 广东 · 理 · 第 34 题 · 解答题

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