数迹
题目列表试卷列表
共找到 10 题
排序：
组题
本页 10 题去组卷
21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

2026 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 定义域为 R\mathbf{R}. 对于正实数 aa，定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x)}M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}.
(1) 若 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，判断 π3\dfrac{\pi}{3} 是否是 MπM_{\pi} 的元素，请说明理由； (2) 若 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<0x<0），f(0)=0f(0)=0，且当 x>0x>0 时 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，Ma≠∅M_a\neq\varnothing，求 aa 的取值范围； (3) 若 y=f(x)y=f(x) 是偶函数，当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时 f(x)=1−xf(x)=1-x，且对任意 a∈(0,2)a\in(0,2)，有 Ma⊂M2M_a\subset M_2. 写出 f(x)f(x) 在 x∈(1,2)x\in(1,2) 的解析式，并证明：对任意实数 cc，函数 f(x)−cf(x)-c 在 [−3,3][-3,3] 上至多有9个零点.

2025 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★★
已知 x1x_1，x2∈Rx_2\in \mathbf{R}，若对任意的 x2−x1∈Sx_2-x_1\in S，f(x2)−f(x1)∈Sf(x_2)-f(x_1)\in S，则有定义：f(x)f(x) 是在 SS 关联的.
(1) 判断和证明 f(x)=2x−1f(x)=2x-1 是否在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联？是否有 [0,1][0,1] 关联？ (2) 若 f(x)f(x) 是在 {3}\{3\} 关联的，f(x)f(x) 在 x∈[0,3)x\in[0,3) 时，f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x，求解不等式 2≤f(x)≤32\le f(x)\le 3； (3) 证明：f(x)f(x) 是 {1}\{1\} 关联的，且是在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联的，当且仅当“f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 是关联的”.

2021 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★★
设定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足：对于任意的 x1x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R}，当 x1<x2x_1<x_2 时，都有 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2).
(1) 若 f(x)=ax3+1f(x)=ax^3+1，求 aa 的取值范围； (2) 若 f(x)f(x) 为周期函数，证明：f(x)f(x) 是常值函数； (3) 设 f(x)f(x) 恒大于零，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，恒大于零的周期函数，MM 是 g(x)g(x) 的最大值. 函数 h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x). 证明：“h(x)h(x) 是周期函数”的充要条件是“f(x)f(x) 是常值函数”.

2017 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
23函数与初等函数★★★★★
对于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 g(x)g(x). 若存在正常数 TT，使 cos⁡g(x)\cos g(x) 是以 TT 为周期的函数，则称 g(x)g(x) 为余弦周期函数，且称 TT 为其余周期. 已知 f(x)f(x) 是以 TT 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R\mathbf{R}. 设 f(x)f(x) 单调递增，f(0)=0f(0) = 0，f(T)=4πf(T) = 4\pi.
(1) 验证 h(x)=x+sin⁡x3h(x) = x + \sin \frac{x}{3} 是以 6π6\pi 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 a<ba < b，证明对任意 c∈[f(a),f(b)]c \in [f(a), f(b)]，存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]，使得 f(x0)=cf(x_0) = c； (3) 证明：“u0u_0 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [0,T][0, T] 上的解”的充要条件是“u0+Tu_0 + T 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [T,2T][T, 2T] 上的解”，并证明对任意 x∈[0,T]x \in [0, T] 都有 f(x+T)=f(x)+f(T)f(x + T) = f(x) + f(T).

2015 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
23解析几何★★★★★
(1) 已知椭圆 Γ\Gamma 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），A(0,b)A(0, b)，B(0,−b)B(0, -b) 和 Q(a,0)Q(a, 0) 为 Γ\Gamma 的三个顶点. 若点 MM 满足 AM→=12(AQ→+AB→)\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AB}\right)，求点 MM 的坐标； (2) 设直线 l1:y=k1x+pl_{1}: y = k_{1}x + p 交椭圆 Γ\Gamma 于 CC，DD 两点，交直线 l2:y=k2xl_{2}: y = k_{2}x 于点 EE. 若 k1⋅k2=−b2a2k_{1} \cdot k_{2} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}，证明：EE 为 CDCD 的中点； (3) 设点 PP 在椭圆 Γ\Gamma 内且不在 xx 轴上，如何作过 PQPQ 中点 FF 的直线 ll，使得 ll 与椭圆 Γ\Gamma 两个交点 P1P_{1}，P2P_{2} 满足 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}？令 a=10a = 10，b=5b = 5，点 PP 的坐标是 (−8,−1)(-8, -1). 若椭圆 Γ\Gamma 上的点 P1P_{1}，P2P_{2} 满足 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}，求点 P1P_{1}，P2P_{2} 的坐标.

2010 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
14导数及其应用★★★★★
将函数 y=4+6x−x2−2y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2（x∈[0,6]x \in [0, 6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ\theta（0⩽θ⩽α0 \leqslant \theta \leqslant \alpha），得到曲线 CC. 若对于每一个旋转角 θ\theta，曲线 CC 都是一个函数的图象，则 α\alpha 的最大值为______.

2009 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
21解析几何★★★★★
我们把由半椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（x⩾0x \geqslant 0）与半椭圆 y2b2+x2c2=1\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1（x⩽0x \leqslant 0）合成的曲线称作“果圆”，其中 a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2，a>0a > 0，b>c>0b > c > 0. 如图，设点 F0F_0，F1F_1，F2F_2 是相应椭圆的焦点，A1A_1，A2A_2 和 B1B_1，B2B_2 分别是“果圆”与 xx，yy 轴的交点，MM 是线段 A1A2A_1A_2 的中点.
(1) 若 △F0F1F2\triangle F_0F_1F_2 是边长为 11 的等边三角形，求该“果圆”的方程； (2) 设 PP 是“果圆”的半椭圆 y2b2+x2c2=1\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1（x⩽0x \leqslant 0）上任意一点. 求证：当 ∣PM∣|PM| 取得最小值时，PP 在点 B1B_1，B2B_2 或 A1A_1 处； (3) 若 PP 是“果圆”上任意一点，求 ∣PM∣|PM| 取得最小值时点 PP 的横坐标.

2007 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=x+axy = x + \frac{a}{x} 有如下性质：如果常数 a>0a > 0，那么该函数在 (0,a](0, \sqrt{a}] 上是减函数，在 [a,+∞)[\sqrt{a}, +\infty) 上是增函数.
(1) 如果函数 y=x+2bxy = x + \frac{2^{b}}{x}（x>0x > 0）的值域为 [6,+∞)[6, +\infty)，求 bb 的值； (2) 研究函数 y=x2+cx2y = x^{2} + \frac{c}{x^{2}} （常数 c>0c > 0） 在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数 y=x+axy = x + \frac{a}{x} 和 y=x2+ax2y = x^{2} + \frac{a}{x^{2}} （常数 a>0a > 0） 作出推广，使它们都是你所推广的函数的情况. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 F(x)=(x2+1x)n+(1x2+x)nF(x) = \left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{n} + \left(\frac{1}{x^{2}} + x\right)^{n} （nn 是正整数）在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right] 上的最大值和最小值. （可利用你的研究结论）

2006 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析