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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2xln⁡x+x2−2ax+a2f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.

2015 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，求 a 的取值范围.

2014 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a} （a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若曲线 y=sin⁡xy = \sin x 上存在 (x0,y0)(x_0, y_0) 使得 f(f(y0))=y0f(f(y_0)) = y_0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1, \mathrm{e}]
B.
[e−1−1,1][\mathrm{e}^{-1} - 1, 1]
C.
[1,1+e][1, 1 + \mathrm{e}]
D.
[e−1−1,e+1][\mathrm{e}^{-1} - 1, \mathrm{e} + 1]

2013 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + a, & x < 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1, f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2, f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1 < x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_{2} < 0，求 x2−x1x_{2} - x_{1} 的最小值； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 A，B 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x-a}（a∈Ra\in\mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若存在 b∈[0,1]b\in[0,1] 使 f(f(b))=bf(f(b))=b 成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1,\mathrm{e}]
B.
[1,1+e][1,1+\mathrm{e}]
C.
[e,1+e][\mathrm{e},1+\mathrm{e}]
D.
[0,1][0,1]

2013 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}（a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 设关于 xx 的方程 log⁡at(x2−1)(7−x)=g(x)\log_{a} \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} = g(x) 在区间 [2,6][2,6] 上有实数解，求 tt 的取值范围. (2) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，证明：∑k=2ng(k)>2−n−n22n(n+1)\sum_{k=2}^{n} g(k) > \frac{2 - n - n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 ∣∑k=1nf(k)−n∣\left| \sum_{k=1}^{n} f(k) - n \right| 与 44 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} （a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 求 g(x)g(x). (2) 当 x∈[2,6]x \in [2,6] 时，恒有 g(x)>log⁡at(x2−1)(7−x)g(x) > \log_a \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} 成立，求 tt 的取值范围； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 f(1)+f(2)+⋯+f(n)f(1) + f(2) + \cdots + f(n) 与 n+4n + 4 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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