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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，椭圆 CC 截直线 y=1y=1 所得线段的长度为 222\sqrt2.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 动直线 l:y=kx+ml:y=kx+m（m≠0m\ne0）交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，交 yy 轴于点 MM. 点 NN 是 MM 关于 OO 的对称点，⊙N\odot N 的半径为 ∣NO∣\lvert NO\rvert. 设 DD 为 ABAB 的中点，DEDE，DFDF 与 ⊙N\odot N 分别相切于点 EE，FF，求 ∠EDF\angle EDF 的最小值.

2017 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡xf(x) = (x + a)\ln x，g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. 已知曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 2x−y=02x - y = 0 平行.
(1) 求 aa 的值； (2) 是否存在自然数 kk，使得方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 在 (k,k+1)(k, k + 1) 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 kk；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 m(x)=min⁡{f(x),g(x)}m(x) = \min \{f(x), g(x)\}（min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值），求 m(x)m(x) 的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x−ax+1−ax−1f(x) = \ln x - ax + \frac{1 - a}{x} - 1 （a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a⩽12a \leqslant \frac{1}{2} 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 g(x)=x2−2bx+4g(x) = x^{2} - 2bx + 4，当 a=14a = \frac{1}{4} 时，若对任意 x1∈(0,2)x_1 \in (0, 2)，存在 x2∈[1,2]x_2 \in [1, 2]，使 f(x1)⩾g(x2)f(x_1) \geqslant g(x_2)，求实数 bb 的取值范围.

2010 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0） 过点 (1,22)\left(1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)，离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 PP 为直线 l:x+y=2l: x + y = 2 上且不在 xx 轴上的任意一点，直线 PF1PF_1 和 PF2PF_2 与椭圆的交点分别为 AA，BB 和 CC，DD，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 设直线 PF1PF_1，PF2PF_2 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2.
(i) 证明：1k1−3k2=2\frac{1}{k_1} - \frac{3}{k_2} = 2； (ii) 问直线 ll 上是否存在点 PP，使得直线 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的斜率 kOAk_{OA}，kOBk_{OB}，kOCk_{OC}，kODk_{OD} 满足 kOA+kOB+kOC+kOD=0k_{OA} + k_{OB} + k_{OC} + k_{OD} = 0？ 若存在，求出所有满足条件的点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2010 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）过 M(2,2)M(2, \sqrt{2})，N(6,1)N(\sqrt{6}, 1) 两点，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 EE 恒有两个交点 AA，BB，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？若存在，写出该圆的方程，并求 ∣AB∣|AB| 的取值范围；若不存在，说明理由.

2009 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，设抛物线方程为 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0），MM 为直线 y=−2py = -2p 上任意一点，过 MM 引抛物线的切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 求证：AA，MM，BB 三点的横坐标成等差数列； (2) 已知当 MM 点的坐标为 (2,−2p)(2, -2p) 时，∣AB∣=410|AB| = 4\sqrt{10}，求此时抛物线的方程； (3) 是否存在点 MM，使得点 CC 关于直线 ABAB 的对称点 DD 在抛物线 x2=2pyx^2 = 2py（p>0p > 0）上，其中，点 CC 满足 OC→=OA→+OB→\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}（OO 为坐标原点）. 若存在，求出所有适合题意的点 MM 的坐标；若不存在，请说明理由.

2008 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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