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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+2a2+⋯+nan=4−n+22n−1a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 a3a_3 的值； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 TnT_n； (3) 令 b1=a1b_1 = a_1，bn=Tn−1n+(1+12+13+⋯+1n)anb_n = \frac{T_{n - 1}}{n} + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) a_n（n⩾2n \geqslant 2），证明：数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn<2+2ln⁡nS_n < 2 + 2 \ln n.

2015 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 aa 为实数，函数 f(x)=(x−a)2+∣x−a∣−a(a−1)f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1).
(1) 若 f(0)⩽1f(0) \leqslant 1，求 aa 的取值范围； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (3) 当 a⩾2a \geqslant 2 时，讨论 f(x)+4xf(x) + \frac{4}{x} 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内的零点个数.

2015 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)−3f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 2x + k)^2 + 2(x^2 + 2x + k) - 3}}，其中 k<−2k < -2.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域 DD（用区间表示）； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 DD 上的单调性； (3) 若 k<−6k < -6，求 DD 上满足条件 f(x)>f(1)f(x) > f(1) 的 xx 的集合（用区间表示）.

2014 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
(1) 在平面直角坐标系 xOyxOy 上，给定抛物线 L:y=14x2L: y = \frac{1}{4} x^2. 实数 pp，qq 满足 p2−4q⩾0p^2 - 4q \geqslant 0，x1x_1，x2x_2 是方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两根. 记 φ(p,q)=max⁡{∣x1∣,∣x2∣}\varphi(p, q) = \max \{|x_1|, |x_2|\}. 过点 A(p0,14p02)A\left(p_0, \frac{1}{4} p_0^2\right)（p0≠0p_0 \neq 0）作 LL 的切线交 yy 轴于点 BB. 证明：对线段 ABAB 上的任一点 Q(p,q)Q(p, q)，有 φ(p,q)=∣p0∣2\varphi(p, q) = \frac{|p_0|}{2}. (2) 设 M(a,b)M(a, b) 是定点，其中 aa，bb 满足 a2−4b>0a^2 - 4b > 0，a≠0a \neq 0. 过点 M(a,b)M(a, b) 作 LL 的两条切线 l1l_1，l2l_2，切点分别为 E(p1,14p12)E\left(p_1, \frac{1}{4} p_1^2\right)，E′(p2,14p22)E'\left(p_2, \frac{1}{4} p_2^2\right)，l1l_1，l2l_2 与 yy 分别交于 FF，F′F'. 线段 EFEF 上异于两端点的点集记为 XX. 证明：M(a,b)∈X⇔∣p1∣>∣p2∣⇔φ(a,b)=∣p1∣2M(a, b) \in X \Leftrightarrow |p_1| > |p_2| \Leftrightarrow \varphi(a, b) = \frac{|p_1|}{2}. (3) 设 D={(x,y)∣y⩽x−1,y⩾14(x+1)2−54}D = \left\{(x, y) \mid y \leqslant x - 1, y \geqslant \frac{1}{4} (x + 1)^2 - \frac{5}{4}\right\}. 当点 (p,q)(p, q) 取遍 D 时，求 φ(p,q)\varphi(p, q) 的最小值（记为 φmin⁡\varphi_{\min}）和最大值（记为 φmax⁡\varphi_{\max}）.

2011 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0, 2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知曲线 C:y=x2C: y = x^2 与直线 l:x−y+2=0l: x - y + 2 = 0 交于两点 A(xA,yA)A(x_A, y_A) 和 B(xB,yB)B(x_B, y_B)，且 xA<xBx_A < x_B. 记曲线 CC 在点 AA 和点 BB 之间那一段 LL 与线段 ABAB 所围成的平面区域（含边界）为 DD. 设点 P(s,t)P(s, t) 是 LL 上的任一点，且点 PP 与点 AA 和点 BB 均不重合.
(1) 若点 QQ 是线段 ABAB 的中点，试求线段 PQPQ 的中点 MM 的轨迹方程； (2) 若曲线 G:x2−2ax+y2−4y+a2+5125=0G: x^{2} - 2ax + y^{2} - 4y + a^{2} + \frac{51}{25} = 0 与 DD 有公共点，试求 aa 的最小值.

2009 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知函数 f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1，α\alpha，β\beta 是方程 f(x)=0f(x) = 0 的两个根（α>β\alpha > \beta），f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数. 设 a1=1a_1 = 1，an+1=an−f(an)f′(an)a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 α\alpha，β\beta 的值； (2) 证明：对任意的正整数 nn，都有 an>αa_{n} > \alpha； (3) 记 bn=ln⁡an−βan−αb_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
AA 是由定义在 [2,4][2,4] 上且满足如下条件的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：
① 对任意的 x∈[1,2]x \in [1,2]，都有 φ(2x)∈(1,2)\varphi(2x) \in (1,2)； ② 存在常数 LL（0<L<10 < L < 1），使得对任意的 x1x_1，x2∈[1,2]x_2 \in [1,2]，都有 ∣φ(2x1)−φ(2x2)∣⩽L∣x1−x2∣|\varphi(2x_1) - \varphi(2x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|.
(1) 设 φ(x)=1+x3\varphi(x) = \sqrt[3]{1 + x}，x∈[2,4]x \in [2,4]，证明：φ(x)∈A\varphi(x) \in A； (2) 设 φ(x)∈A\varphi(x) \in A，如果存在 x0∈(1,2)x_0 \in (1,2)，使得 x0=φ(2x0)x_0 = \varphi(2x_0)，那么这样的 x0x_0 是唯一的； (3) 设 φ(x)∈A\varphi(x) \in A，任取 x1∈(1,2)x_1 \in (1,2)，令 xn=φ(2xn−1)x_n = \varphi(2x_{n-1})，n=2n = 2，33，⋯\cdots，证明：给定正整数 kk，对任意的正整数 pp，成立不等式 ∣xk+p−xk∣⩽Lk−11−L∣x2−x1∣|x_{k+p} - x_k| \leqslant \frac{L^{k-1}}{1 - L} |x_2 - x_1|.

2006 · 广东 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−ln⁡(x+m)f(x) = x - \ln (x + m)，其中常数 mm 为整数.
(1) 当 mm 为何值时，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0； (2) 定理：若函数 g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，且 g(a)g(a) 与 g(b)g(b) 异号，则至少存在一点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，使 g(x0)=0g(x_0) = 0. 试用上述定理证明：当整数 m>1m > 1 时，方程 f(x)=0f(x) = 0 在 [e−m−m,e2m−m][\mathrm{e}^{-m} - m, \mathrm{e}^{2m} - m] 内有两个实根.

2004 · 广东 · 第 21 题 · 解答题

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