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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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14函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的两个周期函数，f(x)f(x) 的周期为 44，g(x)g(x) 的周期为 22，且 f(x)f(x) 是奇函数. 当 x∈(0,2]x\in(0,2] 时，f(x)=1−(x−1)2f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}，
g(x)={k(x+2),0<x≤1,−12,1<x≤2,g(x)=\begin{cases} k(x+2),&0<x\le 1,\\ -\dfrac12,&1<x\le 2, \end{cases}
其中 k>0k>0. 若在区间 (0,9](0,9] 上，关于 xx 的方程 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 有 88 个不同的实数根，则 kk 的取值范围是______.
\begin{answer} [13,24)\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right) \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为 11 的函数，在区间 [0,1)[0,1) 上，
f(x)={x2,x∈D,x,x∉D,f(x)=\begin{cases} x^2,&x\in D,\\ x,&x\notin D, \end{cases}
其中 D={x∣x=n−1n, n∈N∗}D=\left\{x\mid x=\dfrac{n-1}{n},\ n\in \mathbf{N}^*\right\}，则方程 f(x)−lg⁡x=0f(x)-\lg x=0 的解的个数是______.

2017 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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19函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bxf(x)=a^x+b^x（a>0a>0，b>0b>0，a≠1a\ne1，b≠1b\ne1）.
(1) 设 a=2a=2，b=12b=\dfrac12.
(i) 求方程 f(x)=2f(x)=2 的根； (ii) 若对于任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 f(2x)≥mf(x)−6f(2x)\ge mf(x)-6 恒成立，求实数 mm 的最大值； (2) 若 0<a<10<a<1，b>1b>1，函数 g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 有且只有 11 个零点，求 abab 的值.

2016 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bf(x) = x^3 + ax^2 + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 试讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 b=c−ab = c - a（实数 cc 是与 aa 无关的常数）. 当函数 f(x)f(x) 有三个不同的零点时，aa 的取值范围恰好是 (−∞,−3)∪(1,32)∪(32,+∞)(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)，求 cc 的值.

2015 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数； (2) 若关于 xx 的不等式 mf(x)⩽e−x+m−1m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上恒成立，求实数 mm 的取值范围； (3) 已知正数 aa 满足：存在 x0∈[1,+∞)x_0 \in [1, +\infty)，使得 f(x0)<a(−x03+3x0)f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0) 成立. 试比较 ea−1\mathrm{e}^{a - 1} 与 ae−1a^{\mathrm{e} - 1} 的大小，并证明你的结论.

2014 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−axf(x)=\ln x-ax，g(x)=ex−axg(x)=\mathrm{e}^x-ax，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上是单调减函数，且 g(x)g(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上有最小值，求 aa 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 上是单调增函数，试求 f(x)f(x) 的零点个数，并证明你的结论.

2013 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★★
若函数 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_{0} 处取得极大值或极小值，则称 x0x_{0} 为函数 y=f(x)y=f(x) 的极值点. 已知 aa，bb 是实数，且 11 和 −1-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 的两个极值点.
(1) 求 aa 和 bb 的值； (2) 设函数 g(x)g(x) 的导函数 g′(x)=f(x)+2g'(x)=f(x)+2，求 g(x)g(x) 的极值点； (3) 设 h(x)=f(f(x))−ch(x)=f(f(x))-c，其中 c∈[−2,2]c\in[-2,2]，求函数 y=h(x)y=h(x) 的零点个数.

2012 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
已知函数 f1(x)=3∣x−p1∣f_1(x) = 3^{|x-p_1|}，f2(x)=2⋅3∣x−p2∣f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}（x∈Rx \in \mathbf{R}，p1p_1，p2p_2 为常数）. 函数 f(x)f(x) 定义为：对每个给定的实数 xx，
f(x)={f1(x),若 f1(x)⩽f2(x),f2(x),若 f1(x)>f2(x).f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{若\ } f_1(x) \leqslant f_2(x),\\ f_2(x), & \text{若\ } f_1(x) > f_2(x). \end{cases}
.
(1) 求 f(x)=f1(x)f(x) = f_1(x) 对所有实数 xx 成立的充分必要条件（用 p1p_1，p2p_2 表示）； (2) 设 aa，bb 是两个实数，满足 a<ba < b，且 p1p_1，p2∈(a,b)p_2 \in (a, b). 若 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，求证：f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的单调增区间的长度之和为 b−a2\frac{b-a}{2}.（闭区间 [m,n][m, n] 的长度定义为 n−mn-m）

2008 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知 aa，bb，cc，dd 是不全为零的实数，函数 f(x)=bx2+cx+df(x) = bx^{2} + cx + d，g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d. 方程 f(x)=0f(x) = 0 有实数根，且 f(x)=0f(x) = 0 的实数根都是 g(f(x))=0g(f(x)) = 0 的根；反之，g(f(x))=0g(f(x)) = 0 的实数根都是 f(x)=0f(x) = 0 的根.
(1) 求 dd 的值； (2) 若 a=0a = 0，求 cc 的取值范围； (3) 若 a=1a = 1，f(1)=0f(1) = 0，求 cc 的取值范围.

2007 · 江苏 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设 aa 为实数，设函数 f(x)=a1−x2+1+x+1−xf(x) = a\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} 的最大值为 g(a)g(a).
(1) 设 t=1+x+1−xt = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}，求 tt 的取值范围，并把 f(x)f(x) 表示为 tt 的函数 m(t)m(t)； (2) 求 g(a)g(a)； (3) 试求满足 g(a)=g(1a)g(a) = g\left(\frac{1}{a}\right) 的所有实数 aa.

2006 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）满足下列条件：对任意的实数 x1x_1，x2x_2 都有 λ(x1−x2)2⩽(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]\lambda(x_1 - x_2)^2 \leqslant (x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)] 和 ∣f(x1)−f(x2)∣⩽∣x1−x2∣|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant |x_1 - x_2|. 其中 λ\lambda 是大于00的常数. 设实数 a0a_0，aa，bb 满足 f(a0)=0f(a_0) = 0 和 b=a−λf(a)b = a - \lambda f(a).
(1) 证明：λ⩽1\lambda \leqslant 1，并且不存在 b0≠a0b_0 \neq a_0，使得 f(b0)=0f(b_0) = 0； (2) 证明：(b−a0)2⩽(1−λ2)(a−a0)2(b - a_0)^2\leqslant (1 - \lambda^2)(a - a_0)^2； (3) 证明：[f(b)]2⩽(1−λ2)[f(a)]2[f(b)]^{2}\leqslant(1-\lambda^{2})[f(a)]^{2}.

2004 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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