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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★★★
已知 x=x1x=x_1 和 x=x2x=x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x)=2a^x-\mathrm{e} x^2（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1<x_2，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
将连续正整数 11，22，⋯\cdots，nn （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*） 从小到大排列构成一个数 123⋯n123\cdots n，F(n)F(n) 为这个数的位数 （如 n=12n = 12 时，此数为 123456789101112123456789101112，共有 15 个数字，F(12)=15F(12) = 15），现从这个数中随机取一个数字，p(n)p(n) 为恰好取到 0 的概率.
(1) 求 p(100)p(100)； (2) 当 n⩽2014n \leqslant 2014 时，求 F(n)F(n) 的表达式； (3) 令 g(n)g(n) 为这个数中数字 0 的个数，f(n)f(n) 为这个数中数字 9 的个数，h(n)=f(n)−g(n)h(n) = f(n) - g(n)，S={n∣h(n)=1,n⩽100,n∈N∗}S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}，求当 n∈Sn \in S 时 p(n)p(n) 的最大值.

2014 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=a(1−2∣x−12∣)f(x) = a\left(1 - 2\left|x - \frac{1}{2}\right|\right)，aa 为常数且 a>0a > 0.
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=12x = \frac{1}{2} 对称； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，且 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 的二阶周期点. 如果 f(x)f(x) 有两个二阶周期点 x1x_1，x2x_2，试确定 aa 的取值范围； (3) 对于第 2 问中的 x1x_1，x2x_2 和 aa，设 x3x_3 为函数 f(f(x))f(f(x)) 的最大值点，A(x1,f(f(x1)))A(x_1, f(f(x_1)))，B(x2,f(f(x2)))B(x_2, f(f(x_2)))，C(x3,0)C(x_3, 0)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，讨论 S(a)S(a) 的单调性.

2013 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数
f(x)={1ax,0⩽x⩽a,11−a(1−x),a<x⩽1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a} x, & 0 \leqslant x \leqslant a,\\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), & a < x \leqslant 1, \end{cases}
aa 为常数且 a∈(0,1)a \in (0,1).
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2} 时，求 f(f(13))f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，但 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为 f(x)f(x) 的二阶周期点，证明：函数 f(x)f(x) 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 x1x_1，x2x_2； (3) 对于（2）中的 x1x_{1}，x2x_{2}，设 A(x1,f(f(x1)))A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)，B(x2,f(f(x2)))B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)，C(a2,0)C\left(a^{2}, 0\right)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，求 S(a)S(a) 在区间 [13,12]\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
若函数 h(x)h(x) 满足
① h(0)=1h(0)=1，h(1)=0h(1)=0； ② 对任意 a∈[0,1]a \in [0,1]，有 h(h(a))=ah(h(a)) = a； ③ 在 (0,1)(0,1) 上单调递减.
则称 h(x)h(x) 为补函数. 已知函数 h(x)=(1−xp1+λxp)1ph(x) = \left(\frac{1 - x^{p}}{1 + \lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}（λ>−1\lambda > -1，p>0p > 0）.
(1) 判断函数 h(x)h(x) 是否为补函数，并证明你的结论； (2) 若存在 m∈[0,1]m \in [0,1]，使得 h(m)=mh(m) = m，称 mm 是函数 h(x)h(x) 的中介元. 记 p=1np = \frac{1}{n} （n∈N+n \in \mathbf{N}_+）时 h(x)h(x) 的中介元为 xnx_n. 且 Sn=∑i=1nxiS_n = \sum_{i=1}^{n} x_i，若对任意的 n∈N+n \in \mathbf{N}_+，都有 Sn<12S_n < \frac{1}{2}，求 λ\lambda 的取值范围； (3) 当 λ=0\lambda = 0，x∈(0,1)x \in (0,1) 时，函数 y=h(x)y = h(x) 的图象总在直线 y=1−xy = 1 - x 的上方，求 pp 的取值范围.

2012 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\}，a1=aa_{1} = a，a2=ba_{2} = b，且对满足 m+n=p+qm + n = p + q 的正整数 mm，nn，pp，qq 都有 am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)\frac{a_{m} + a_{n}}{(1 + a_{m})(1 + a_{n})} = \frac{a_{p} + a_{q}}{(1 + a_{p})(1 + a_{q})}.
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2}，b=45b = \frac{4}{5} 时，求通项 ana_{n}； (2) 证明：对任意 aa，存在与 aa 有关的常数 λ\lambda，使得对于每个正整数 nn，都有 1λ⩽an⩽λ\frac{1}{\lambda} \leqslant a_n \leqslant \lambda.

2009 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=11+x+11+a+axax+8f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). 当 a=8a = 8 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意正数 aa，证明：1<f(x)<21 < f(x) < 2.

2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设动点 PP 到点 A(−1,0)A(-1, 0) 和 B(1,0)B(1, 0) 的距离分别为 d1d_{1} 和 d2d_{2}，∠APB=2θ\angle APB = 2\theta. 且存在常数 λ\lambda（0<λ<10 < \lambda < 1），使得 d1d2sin⁡2θ=λd_{1}d_{2}\sin^{2}\theta = \lambda.
(1) 证明：动点 PP 的轨迹 CC 为双曲线，并求出 CC 的方程； (2) 过点 BB 作直线交双曲线 CC 的右支于 MM，NN 两点，试确定 λ\lambda 的范围，使 OM→⋅ON→=0\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0，其中点 OO 为坐标原点.

2007 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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