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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集，如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x) \mid x \in S\}； ② 对任意 x1x_1，x2∈Sx_2 \in S，当 x1<x2x_1 < x_2 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).
那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A.
A=N∗, B=NA = \mathbf{N}^{*},\ B = \mathbf{N}
B.
A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 3\}， B={x∣x=−8 或 0<x⩽10}\ B = \{x \mid x = -8 \text{\ 或\ } 0 < x \leqslant 10\}
C.
A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}， B=R\ B = \mathbf{R}
D.
A=ZA = \mathbf{Z}， B=Q\ B = \mathbb{Q}

2013 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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20三角函数★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0， 0<φ<π\ 0 < \varphi < \pi）的周期为 π\pi，图象的一个对称中心为 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，将函数 f(x)f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象.
(1) 求函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的解析式； (2) 是否存在 x0∈(π6,π4)x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)，使得 f(x0)f(x_0)，g(x0)g(x_0)，f(x0)g(x0)f(x_0)g(x_0) 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0x_0 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 aa 与正整数 nn，使得 F(x)=f(x)+ag(x)F(x) = f(x) + a g(x) 在 (0,nπ)(0, n\pi) 内恰有 20132013 个零点.

2013 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−kxf(x) = \mathrm{e}^{x} - kx，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 若 k=ek = \mathrm{e}，试确定函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 k>0k > 0，且对于任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f(∣x∣)>0f(|x|) > 0 恒成立，试确定实数 kk 的取值范围； (3) 设函数 F(x)=f(x)+f(−x)F(x) = f(x) + f(-x)，求证：F(1)F(2)⋯F(n)>(en+1+2)n2F(1)F(2)\cdots F(n) > (\mathrm{e}^{n+1} + 2)^{\frac{n}{2}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2007 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x，g(x)=6ln⁡x+mg(x) = 6\ln x + m.
(1) 求 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1]\left[t, t + 1\right] 上的最大值 h(t)h(t)； (2) 是否存在实数 mm，使得 y=f(x)y = f(x) 的图象与 y=g(x)y = g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 mm 的取值范围；若不存在，说明理由.

2006 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=4x+ax2−23x3f(x) = 4x + ax^2 - \frac{2}{3}x^3（x∈Rx \in \mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=2x+13x3f(x) = 2x + \frac{1}{3}x^3 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2 + tm + 1 \geqslant |x_1 - x_2| 对任意 a∈Aa \in A 及 t∈[−1,1]t \in [-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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