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15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★★
已知函数
f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log⁡a(x+1)+1,x≥0,f(x)=\begin{cases} x^2+(4a-3)x+3a,&x<0,\\ \log_a(x+1)+1,&x\ge 0, \end{cases}
（a>0a>0，且 a≠1a\neq1）在 R\mathbf{R} 上单调递减，且关于 xx 的方程 ∣f(x)∣=2−x\lvert f(x)\rvert=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,23]\left(0,\dfrac23\right]
B.
[23,34]\left[\dfrac23,\dfrac34\right]
C.
[13,23]∪{34}\left[\dfrac13,\dfrac23\right]\cup\left\{\dfrac34\right\}
D.
[13,23)∪{34}\left[\dfrac13,\dfrac23\right)\cup\left\{\dfrac34\right\}

2016 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ex(2x−1)−ax+af(x) = \mathrm{e}^{x}(2x - 1) - ax + a，其中 a<1a < 1，若存在唯一的整数 x0x_0 使得 f(x0)<0f(x_0) < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−32e,1)\left[-\frac{3}{2\mathrm{e}},1\right)
B.
[−32e,34)\left[-\frac{3}{2\mathrm{e}},\frac{3}{4}\right)
C.
[32e,34)\left[\frac{3}{2\mathrm{e}},\frac{3}{4}\right)
D.
[32e,1)\left[\frac{3}{2\mathrm{e}},1\right)

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★★
已知定义在 [0,1][0,1] 上的函数 f(x)f(x) 满足：
① f(0)=f(1)=0f(0) = f(1) = 0； ② 对所有 xx，y∈[0,1]y\in[0,1]，且 x≠yx \neq y，有 ∣f(x)−f(y)∣<12∣x−y∣|f(x) - f(y)| < \frac{1}{2} |x - y|.
若对所有 xx，y∈[0,1]y\in[0,1]，∣f(x)−f(y)∣<k|f(x) - f(y)| < k 恒成立，则 kk 的最小值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
12π\frac{1}{2\pi}
D.
18\frac{1}{8}

2014 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2). 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x−1)⩽f(x)f(x - 1) \leqslant f(x)，则实数 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−16,16]\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
B.
[−66,66]\left[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}\right]
C.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
D.
[−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

2014 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12解析几何★★★★★
已知点 A(−1,0)A(-1, 0)，B(1,0)B(1, 0)，C(0,1)C(0, 1)，直线 y=ax+by = ax + b（a>0a > 0）将 △ABC\triangle ABC 分割为面积相等的两部分，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0, 1)
B.
(1−22,12)\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)
C.
(1−22,13]\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{3}\right]
D.
[13,12)\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x(1+a∣x∣)f(x) = x(1 + a|x|). 设关于 xx 的不等式 f(x+a)<f(x)f(x + a) < f(x) 的解集为 AA. 若 [−12,12]⊆A\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \subseteq A，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(1−52,0)\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right)
B.
(1−32,0)\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0\right)
C.
(1−52,0)∪(0,1+32)\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)
D.
(−∞,1−52)\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)

2013 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集，如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x) \mid x \in S\}； ② 对任意 x1x_1，x2∈Sx_2 \in S，当 x1<x2x_1 < x_2 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).
那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A.
A=N∗, B=NA = \mathbf{N}^{*},\ B = \mathbf{N}
B.
A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 3\}， B={x∣x=−8 或 0<x⩽10}\ B = \{x \mid x = -8 \text{\ 或\ } 0 < x \leqslant 10\}
C.
A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}， B=R\ B = \mathbf{R}
D.
A=ZA = \mathbf{Z}， B=Q\ B = \mathbb{Q}

2013 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a} （a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若曲线 y=sin⁡xy = \sin x 上存在 (x0,y0)(x_0, y_0) 使得 f(f(y0))=y0f(f(y_0)) = y_0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1, \mathrm{e}]
B.
[e−1−1,1][\mathrm{e}^{-1} - 1, 1]
C.
[1,1+e][1, 1 + \mathrm{e}]
D.
[e−1−1,e+1][\mathrm{e}^{-1} - 1, \mathrm{e} + 1]

2013 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x-a}（a∈Ra\in\mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若存在 b∈[0,1]b\in[0,1] 使 f(f(b))=bf(f(b))=b 成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1,\mathrm{e}]
B.
[1,1+e][1,1+\mathrm{e}]
C.
[e,1+e][\mathrm{e},1+\mathrm{e}]
D.
[0,1][0,1]

2013 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
已知以 T=4T = 4 为周期的函数
f(x)={m1−x2,x∈(−1,1],1−∣x−2∣,x∈(1,3].f(x) = \begin{cases} m\sqrt{1 - x^{2}}, & x \in (-1, 1],\\ 1 - |x - 2|, & x \in (1, 3]. \end{cases}
其中 m>0m > 0. 若方程 3f(x)=x3f(x) = x 恰有 5 个实数解，则 mm 的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数以 4 为周期，先考察一个基本周期 (−1,3](-1,3]. 在 [0,1][0,1] 上，方程为
3m1−x2=x3m\sqrt{1-x^{2}}=x
由于 f(x)⩾0f(x)\geqslant0，方程的解必须满足 x⩾0x\geqslant0，且 x=0x=0 不满足方程，所以不必考察负半轴. 左端随 xx 增大而减小、右端递增，且两端在 x=0x=0 与 x=1x=1 的大小关系相反，故恰有 1 根.
在 (1,3](1,3] 上，f(x)=1−∣x−2∣f(x)=1-|x-2|. 当 1<x⩽21<x\leqslant2 时，方程为 3(x−1)=x3(x-1)=x，根为 x=32x=\frac{3}{2}；当 2⩽x⩽32\leqslant x\leqslant3 时，方程为 3(3−x)=x3(3-x)=x，根为 x=94x=\frac{9}{4}. 所以基本周期内已有 3 根.
对 k⩾1k\geqslant1，在区间 (4k−1,4k+1](4k-1,4k+1] 上令 x=4k+tx=4k+t，则第一段方程化为 m=4k+t31−t2m=\frac{4k+t}{3\sqrt{1-t^{2}}}，−1<t<1-1<t<1. 记
hk(t)=4k+t31−t2h_k(t)=\frac{4k+t}{3\sqrt{1-t^{2}}}
其导数为
hk′(t)=1+4kt3(1−t2)32h_k'(t)=\frac{1+4kt}{3(1-t^{2})^{\frac{3}{2}}}
所以 hkh_k 在 (−1,−1(4k))(-1,-\frac{1}{(4k)}) 上递减，在 (−1(4k),1)(-\frac{1}{(4k)},1) 上递增，并且两端趋于 +∞+\infty. 唯一最小值为
hk(−14k)=16k2−13h_k\left(-\frac1{4k}\right)=\frac{\sqrt{16k^{2}-1}}{3}
因此第 kk 个平移后的第一段有 2 个根当且仅当 m>16k2−13m>\frac{\sqrt{16k^{2}-1}}{3}，有 1 个根当 mm 等于该值，否则没有根.
当 k=1k=1 时，产生 2 个根的条件是 m>153m>\frac{\sqrt{15}}{3}；当 k=2k=2 时，产生根的临界值是
m=16⋅22−13=7m=\frac{\sqrt{16\cdot2^{2}-1}}{3}=\sqrt7
由于上述临界值随 kk 增大而增大，若 m<7m<\sqrt7，只有 k=1k=1 的第一段可能产生根；若 m⩾7m\geqslant\sqrt7，则至少还会产生第 k=2k=2 段的根. 第二段中 3f(x)⩽33f(x)\leqslant3，而 x>4k+1⩾5x>4k+1\geqslant5，不可能有根. 因此总根数恰为 3+2=53+2=5 当且仅当
153<m<7\frac{\sqrt{15}}{3}<m<\sqrt7
故选 B. \end{solution}
A.
(153,83)\left(\frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{8}{3}\right)
B.
(153,7)\left(\frac{\sqrt{15}}{3}, \sqrt{7}\right)
C.
(43,83)\left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right)
D.
(43,7)\left(\frac{4}{3}, \sqrt{7}\right)

2009 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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