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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−a(x−1)exf(x)=\ln x-a(x-1)\mathrm{e}^x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 若 a≤0a\le0，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 0<a<\dfrac1\mathrm{e}，
(i) 证明 f(x)f(x) 恰有两个零点； (ii) 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极值点，x1x_1 为 f(x)f(x) 的零点，且 x1>x0x_1>x_0，证明 3x0−x1>23x_0-x_1>2.

2019 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的两个周期函数，f(x)f(x) 的周期为 44，g(x)g(x) 的周期为 22，且 f(x)f(x) 是奇函数. 当 x∈(0,2]x\in(0,2] 时，f(x)=1−(x−1)2f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}，
g(x)={k(x+2),0<x≤1,−12,1<x≤2,g(x)=\begin{cases} k(x+2),&0<x\le 1,\\ -\dfrac12,&1<x\le 2, \end{cases}
其中 k>0k>0. 若在区间 (0,9](0,9] 上，关于 xx 的方程 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 有 88 个不同的实数根，则 kk 的取值范围是______.
\begin{answer} [13,24)\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right) \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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