已知函数 $f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$（$x\in(0,2)$）.

(1) 若 $b=0$ 且 $f'(x)\ge0$，求 $a$ 的最小值； (2) 证明：曲线 $y=f(x)$ 关于点 $(1,a)$ 中心对称； (3) 若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围.

若函数 $f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1$ 恰有一个零点，则 $a$ 的取值范围为______.

记 $M(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\ge a\}$，$L(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\le a\}$.

(1) 若 $f(x)=x^2+1$，求 $M(1)$ 和 $L(1)$； (2) 若 $f(x)=x^3-3x^2$，求证：对于任意 $a\in\mathbf{R}$，都有 $M(a)\subseteq[-4,+\infty)$，且存在 $a$，使得 $-4\in M(a)$. (3) 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的 $f(x)$ 有最小值，求证“$f(x)$ 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 $c$，均有 $M(-c)=L(c)$”.