已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

设实数 $c > 0$，整数 $p > 1$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 证明：当 $x > -1$ 且 $x \neq 0$ 时，$(1 + x)^p > 1 + px$； (2) 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 > c^{\frac{1}{p}}$，$a_{n+1} = \frac{p-1}{p}a_n + \frac{c}{p}a_n^{1-p}$，证明：$a_n > a_{n+1} > c^{\frac{1}{p}}$.