已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，抛物线 $E\colon x^2=2y$ 的焦点 $F$ 是 $C$ 的一个顶点.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $P$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限，$E$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A$，$B$，线段 $AB$ 的中点为 $D$，直线 $OD$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$.

(i) 求证：点 $M$ 在定直线上； (ii) 直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$，记 $\triangle PFG$ 的面积为 $S_1$，$\triangle PDM$ 的面积为 $S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最大值及取得最大值时点 $P$ 的坐标.

平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设椭圆 $E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1$，$P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = kx + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，射线 $PO$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$.

(i) 求 $\frac{|OQ|}{|OP|}$ 的值； (ii) 求 $\triangle ABQ$ 面积的最大值.