已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

设 $a$ 为实数，函数 $f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1)$.

(1) 若 $f(0) \leqslant 1$，求 $a$ 的取值范围； (2) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (3) 当 $a \geqslant 2$ 时，讨论 $f(x) + \frac{4}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内的零点个数.

(1) 设 $b > 0$，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b$，$a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}$（$n \geqslant 2$）. 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 $n$，$a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1$.

(1) 在平面直角坐标系 $xOy$ 上，给定抛物线 $L: y = \frac{1}{4} x^2$. 实数 $p$，$q$ 满足 $p^2 - 4q \geqslant 0$，$x_1$，$x_2$ 是方程 $x^2 - px + q = 0$ 的两根. 记 $\varphi(p, q) = \max \{|x_1|, |x_2|\}$. 过点 $A\left(p_0, \frac{1}{4} p_0^2\right)$（$p_0 \neq 0$）作 $L$ 的切线交 $y$ 轴于点 $B$. 证明：对线段 $AB$ 上的任一点 $Q(p, q)$，有 $\varphi(p, q) = \frac{|p_0|}{2}$. (2) 设 $M(a, b)$ 是定点，其中 $a$，$b$ 满足 $a^2 - 4b > 0$，$a \neq 0$. 过点 $M(a, b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_1$，$l_2$，切点分别为 $E\left(p_1, \frac{1}{4} p_1^2\right)$，$E'\left(p_2, \frac{1}{4} p_2^2\right)$，$l_1$，$l_2$ 与 $y$ 分别交于 $F$，$F'$. 线段 $EF$ 上异于两端点的点集记为 $X$. 证明：$M(a, b) \in X \Leftrightarrow |p_1| > |p_2| \Leftrightarrow \varphi(a, b) = \frac{|p_1|}{2}$. (3) 设 $D = \left\{(x, y) \mid y \leqslant x - 1, y \geqslant \frac{1}{4} (x + 1)^2 - \frac{5}{4}\right\}$. 当点 $(p, q)$ 取遍 D 时，求 $\varphi(p, q)$ 的最小值（记为 $\varphi_{\min}$）和最大值（记为 $\varphi_{\max}$）.

设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 上的两点. 现定义由点 $A$ 到点 $B$ 的一种折线距离 $\rho(A,B)$ 为 $\rho(A,B) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$. 对于平面 $xOy$ 上给定的不同两点 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$.

(1) 若点 $C(x, y)$ 是平面 $xOy$ 上的点，试证明 $\rho(A,C) + \rho(C,B) \geqslant \rho(A,B)$； (2) 在平面 $xOy$ 上是否存在点 $C(x, y)$，同时满足

① $\rho(A,C) + \rho(C,B) = \rho(A,B)$； ② $\rho(A,C) = \rho(C,B)$.

若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

已知曲线 $C_n: y = nx^2$，点 $P_n(x_n, y_n)$（$x_n > 0$，$y_n > 0$）是曲线 $C_n$ 上的点（$n = 1$，$2$，$\cdots$）.

(1) 试写出曲线 $C_n$ 在点 $P_n$ 处的切线 $l_n$ 的方程，并求出 $l_n$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_n$ 的坐标； (2) 若原点 $O(0, 0)$ 到 $l_n$ 的距离与线段 $P_nQ_n$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_n$ 的坐标 $(x_n, y_n)$； (3) 设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_n$ 与 $y_n$ 是满足前一问条件的点 $P_n$ 的坐标，证明：$\sum_{n=1}^{s} \left| \sqrt{\frac{(m + 1)x_n}{2}} - \sqrt{(k + 1)y_n} \right| < \left| \sqrt{ms} - \sqrt{ks} \right|$（$s = 1$，$2$，$\cdots$）.

已知二次函数 $y = g(x)$ 的导函数的图象与直线 $y = 2x$ 平行，且 $y = g(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极小值 $m - 1$（$m \neq 0$）. 设 $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0, 2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值； (2) $k$（$k \in \mathbf{R}$）如何取值时，函数 $y = f(x) - kx$ 存在零点，并求出零点.