已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

若函数 $h(x)$ 满足

① $h(0)=1$，$h(1)=0$； ② 对任意 $a \in [0,1]$，有 $h(h(a)) = a$； ③ 在 $(0,1)$ 上单调递减.

则称 $h(x)$ 为补函数. 已知函数 $h(x) = \left(\frac{1 - x^{p}}{1 + \lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}$（$\lambda > -1$，$p > 0$）.

(1) 判断函数 $h(x)$ 是否为补函数，并证明你的结论； (2) 若存在 $m \in [0,1]$，使得 $h(m) = m$，称 $m$ 是函数 $h(x)$ 的中介元. 记 $p = \frac{1}{n}$ （$n \in \mathbf{N}_+$）时 $h(x)$ 的中介元为 $x_n$. 且 $S_n = \sum_{i=1}^{n} x_i$，若对任意的 $n \in \mathbf{N}_+$，都有 $S_n < \frac{1}{2}$，求 $\lambda$ 的取值范围； (3) 当 $\lambda = 0$，$x \in (0,1)$ 时，函数 $y = h(x)$ 的图象总在直线 $y = 1 - x$ 的上方，求 $p$ 的取值范围.

(1) 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}$，$x \in (0, +\infty)$. 当 $a = 8$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 对任意正数 $a$，证明：$1 < f(x) < 2$.