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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，bn=n(1+1n)nanb_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n（n∈N+n\in\mathbf{N}_+），e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=1+x−exf(x)=1+x-\mathrm{e}^x 的单调区间，并比较 (1+1n)n\left(1+\dfrac1n\right)^n 与 e\mathrm{e} 的大小； (2) 计算 b1a1\dfrac{b_1}{a_1}，b1b2a1a2\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}，b1b2b3a1a2a3\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}，由此推测计算 b1b2⋯bna1a2⋯an\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n} 的公式，并给出证明； (3) 令 cn=(a1a2⋯an)1nc_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}，数列 {an}\{a_n\}，{cn}\{c_n\} 的前 nn 项和分别记为 SnS_n，TnT_n，证明：Tn<eSnT_n<\mathrm{e} S_n.

2015 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
一种作图工具如左图所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如右图所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2). 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x−1)⩽f(x)f(x - 1) \leqslant f(x)，则实数 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−16,16]\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
B.
[−66,66]\left[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}\right]
C.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
D.
[−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

2014 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=rx−xr+(1−r)f(x) = rx - x^{r} + (1 - r) （x>0x > 0），其中 rr 为有理数，且 0<r<10 < r < 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 a1⩾0a_{1} \geqslant 0，a2⩾0a_{2} \geqslant 0，b1b_{1}，b2b_{2} 为正有理数. 若 b1+b2=1b_{1} + b_{2} = 1，则 a1b1a2b2⩽a1b1+a2b2a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 α\alpha 为正有理数时，有求导公式 (xα)′=αxα−1(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+af(x) = x^{3} + 2ax^{2} + bx + a，g(x)=x2−3x+2g(x) = x^{2} - 3x + 2，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数，已知曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 在点 (2,0)(2,0) 处有相同的切线 ll.
(1) 求 aa，bb 的值，并写出切线 ll 的方程； (2) 若方程 f(x)+g(x)=mxf(x) + g(x) = mx 有三个互不相同的实根 00，x1x_1，x2x_2，其中 x1<x2x_1 < x_2，且对任意的 x∈[x1,x2]x \in [x_1, x_2]，f(x)+g(x)<m(x−1)f(x) + g(x) < m (x - 1) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2011 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
已知 mm，nn 为正整数.
(1) 用数学归纳法证明：当 x>−1x > -1 时，(1+x)m⩾1+mx(1 + x)^{m} \geqslant 1 + mx； (2) 对于 n⩾6n \geqslant 6，已知 (1−1n+3)n<12\left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}. 求证 (1−mn+3)n<12\left(1 - \frac{m}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}，m=1m = 1，22，⋯\cdots，nn； (3) 求满足等式 3n+4n+⋯+(n+2)n=(n+3)n3^{n} + 4^{n} + \cdots + (n + 2)^{n} = (n + 3)^{n} 的所有正整数 nn.

2007 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知不等式 12+13+⋯+1n>12[log⁡2n]\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}\left[\log_{2} n\right]，其中 nn 为大于 22 的整数，[log⁡2n][\log_{2} n] 表示不超过 log⁡2n\log_{2} n 的最大整数. 设数列 {an}\{a_n\} 的各项为正，且满足 a1=ba_1 = b（b>0b > 0），an⩽nan−1n+an−1a_n \leqslant \frac{n a_{n-1}}{n + a_{n-1}}，n=2n = 2，33，44，…\dots.
(1) 证明： an<2b2+b[log⁡2n]a_{n} < \frac{2b}{2 + b[\log_{2} n]}，n=3n = 3，44，55，…\dots； (2) 猜测数列 {an}\{a_{n}\} 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； (3) 试确定一个正整数 NN，使得当 n>Nn > N 时，对任意 b>0b > 0，都有 an<15a_{n} < \frac{1}{5}.

2005 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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