已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

已知 $f(x) = 4x + ax^2 - \frac{2}{3}x^3$（$x \in \mathbf{R}$）在区间 $[-1,1]$ 上是增函数.

(1) 求实数 $a$ 的值组成的集合 $A$； (2) 设关于 $x$ 的方程 $f(x) = 2x + \frac{1}{3}x^3$ 的两个非零实根为 $x_1$，$x_2$. 试问：是否存在实数 $m$，使得不等式 $m^2 + tm + 1 \geqslant |x_1 - x_2|$ 对任意 $a \in A$ 及 $t \in [-1,1]$ 恒成立？若存在，求 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.