已知实数 $a\neq0$，设函数 $f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}$，$x>0$.

(1) 当 $a=-\dfrac34$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}^2},+\infty\right)$ 均有 $f(x)\le\dfrac{\sqrt x}{2a}$，求 $a$ 的取值范围.

注：$\mathrm{e}=2.71828\ldots$ 为自然对数的底数.