已知函数 $f(x)=|x+a|-a-x$.

(1) 若 $a=1$，求函数定义域； (2) 若 $a\ne0$，且 $f(ax)=a$ 有 $2$ 个不同实数根，求 $a$ 的取值范围； (3) 是否存在实数 $a$，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围.